Irrelevant Elements UVA - 1635

最新推荐文章于 2024-08-02 19:51:34 发布

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分类专栏：数论

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本文介绍了解决UVA-1635问题的方法，通过使用唯一分解定理和杨辉三角迭代公式，有效地判断了多项式系数是否能被特定数m整除。文中提供了一个C++实现示例。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接：Irrelevant Elements UVA - 1635

Translation:
题意见https://vjudge.net/problem/UVA-1635

Solution:

唯一分解定理，杨辉三角迭代公式 $C_{k}^{n} = \frac{n - k - 1}{k}C_{k - 1}^{n}$

根据杨辉三角的迭代公式即可很容易得出最后一项的每一项系数。根据是否能够整除m，就可以得出这一项是否跟最后的结果有关。但是问题在于最后一项的数据范围太大，必须用高精度才能保存。所以直接对m取余来求解是行不通的。所以就必须用唯一分解定理：对m进行素因子分解，然后对于每一项m的素因子，求其在每一项Ci中的次数（对Ci也进行了唯一分解），如果一旦有在Ci中的次数<在m中的次数，那么就可以断定这个Ci肯定不能整除m.
据此就可以得出结果。

note:

1:注意最后判断能否整除 m 时，当在Ci中的次数>=在m中的次数并不能说明就一定能整除m。因为还有其它的素因子未判断。
2:这道题可以总结出一个利用唯一分解定理判断能否整除m的一个方法，这样就不需要高精度了。

#include<iostream>
#include<string>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<stack>
#include<map>
#include<iomanip>
#define ll long long

using namespace std;


const int maxn = 100000 + 2;

int m, n;   //n个数
bool flag[maxn];    //表示第i个元素无关

void getPrimes(vector<int>& p) {    //求出m的所有素因子
    int tmp = m;

    int t = floor(sqrt(tmp) + 0.5);

    for(int i = 2; i <= t; i++) {
        if(tmp % i == 0) {
            p.push_back(i);
            while(tmp % i == 0) tmp /= i;
        }
    }
    if(tmp > 1)  p.push_back(tmp);
}

//c(n, k) = c(n, k-1) * (n-k+1) / k
int main()
{
    while(scanf("%d%d",&n,&m) != EOF) {
        memset(flag, 0, sizeof(flag));
        vector<int> primes;

        getPrimes(primes);  //求出m的所有素因子；

        --n;

        for(int i = 0; i < primes.size(); i++) {
            int tp = primes[i];
            int me = 0, pe = 0;
            int tmp = m;

            while(tmp % tp == 0) { tmp /= tp; me++; }   //求出这个素因子的次数

            for(int k = 1; k < n; k++) { //第一项和最后一项都是1,不用计算
                int up = n - k + 1;
                while(up % tp == 0) { up /= tp; pe++; }

                int down = k;
                while(down % tp == 0) { down /= tp; pe--; }

                if(pe < me)  flag[k] = true; //第k+1个数有关,note
            }
        }

        vector<int> ans;
        for(int k = 1; k < n; k++)
            if(!flag[k]) ans.push_back(k+1); // 编号从1开始
        cout << ans.size() << "\n";
        if(!ans.empty()) {
            cout << ans[0];
            for(int i = 1; i < ans.size(); i++) cout << " " << ans[i];
        }
        cout<<endl;
    }
    return 0;
}