动态规划和贪心算法

最新推荐文章于 2025-07-07 18:37:58 发布

原创

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一、动态规划

1.1、动态规划思想

动态规划(dynamic programming)：把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，利用各阶段之间的关系，逐个求解。

多阶段决策问题：如果一类活动过程可以分为若干个互相联系的阶段，在每个阶段都需作出决策（采取措施），一个阶段的决策确定以后，常常影响到下一个阶段的决策，从而就完全确定了一个过程的活动路线。
大事化小，小事化了。

1.2、动态规划问题建模的步骤

1、根据问题，找到最优子结构
把原问题从大化小的第一步，找到比当前问题要小一号的最好的结果，而一般情况下，当前问题可以由最优子结构进行表示。
2、确定问题的边界
根据上述的最优子结构，一步一步从大化小，最终可以得到最小的，可以一眼看出答案的最优子结构，也就是边界。
3、通过上述两步，通过分析最优子结构与最终问题之间的关系，我们可以得到状态转移方程。

1.3、举例

问题：

有一座高度是10级台阶的楼梯，从下往上走，每跨一步只能向上1级或者2级台阶。要求用程序来求出一共有多少种走法？

问题建模：

假如只差一步就能走完整个楼梯，要分为几种情况？因为每一步能走一级或者两级台阶，所以有如下两种情况：
1、最后一步走2级台阶，也就是从8级到10级
2、最后一步走1级台阶，也就是从9级到10级
那么在上面的基础上，假设1级到8级有X种走法，1级到9级有Y种走法，那么1级到10级有几种走法？
实际上，10级台阶的所有走法可以根据最后一步的不同分为两个部分。
第一部分：最后一步从9级到10级，这种走法的数量和1级到9级的数量一致，也就是Y种。
第二部分：最后一步从8级到10级，这种走法的数量和1级到8级的数量一致，也就是X种。
我们把10级台阶的走法表达为为F(10)此时:
F(10) = F(9)+F(8)
F(9) = F(8)+F(7)
F(8) = F(7)+F(6)
…
F(3) = F(2)+F(1)
看到没，我们把一个复杂的问题分阶段分步的简化，简化成简单的问题，这就是动态规划的思想。
当只有1级台阶和2级台阶时走法很明显，即F(1)=1、F(2)=2，可以归纳出如下公式：
F(n) = F(n-1) + F(n-2)(n >= 3);
F(2) = 2;
F(1) = 1;
动态规划中包含三个重要的概念，最优子结构、边界、状态转移公式。
上面我们分析出F(10)=F(9)+F(8)，其中，F(9)和F(8)是F(10)的最优子结构。
当只有1级和2级台阶时，我们可以直接得出结果，而无需再次简化。我们称F(2)和F(1)是问题的"边界"，如果一个问题没有边界，那么这个问题就没有有限解。
F(n) = F(n-1) + F(n-2)是阶段之间的状态转移公式，它是动态规划的核心，决定了问题的每个阶段和下阶段之间的关系。
至此，动态规划的“问题建模就完成了”。

1.4、Python代码：

def climbs(n):
    if n == 1:
        return 1
    if n == 2:
        return 2
    return climbs(n-1) + climbs(n-2)

n = input("请输入n: \n")
print(climbs(int(n)))

1.5、状态压缩动态规划（dp）

顾名思义，就是将动态规划中的状态数组进行了压缩。
位运算：
在这里插入图片描述
判断算法：
当数据范围和题目描述具有以下三大特点的时候，就可以初步判断这道题目需要使用状态压缩动态规划：
1、数据中的N,M范围很小，基本上不超过30,20
2、题目似乎要我们求方案数或极值问题
3、类似棋盘、网格这类问题