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最新推荐文章于 2025-09-12 17:31:31 发布

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#数据结构与算法

本文介绍了一种基于动态规划的算法，用于计算特定条件下（即所有奇数位置的数字都比相邻两个数字小或者都比相邻两个数字大）1到n的排列中“抖动”排列的数量。

这个题之前看过,发现不会,查题解,发现没看懂.
泣不成声.jpg
现在做这个题是因为我看了看CEOI2016 day1T2 kangaroo的题解~~感受自己有多蠢~~,发现和这个题有点相似,然后发现自己好像会做这个题了(其实只是看懂题解了2333)
(然而还是不会CEOI那个题...百度CEOI2016可以直接从官网下到题面题解和数据).

题意

问1到n的排列中有多少个是"抖动"的.即:满足所有奇数位置的数字都比相邻两个数字小或者都比相邻两个数字大.

分析

定义f[i][j]表示长度为i,第一个元素为j,且第一个元素大于第二个元素的所有排列中,"抖动排列"的数目.g[i][j]表示长度为i,第一个元素为j,且第一个元素小于第二个元素的所有排列中,"抖动排列"的数目.
考虑长度为i,第一个元素为j,且第一个元素大于第二个元素的一个排列,我们删掉它的第一个元素,然后把其他所有大于i的元素都减1,可以得到一个1到i-1的排列,这个排列是第一个元素小于第二个元素的.我们枚举删掉第一个元素之后的新排列的第一个元素的大小,发现f[i][j]可以从g[i-1][1,2,3...(j-1)]转移过来.g[i][j]的求法类似.
DP方程如下:
$
f[i][j]=g[i-1][1]+g[i-1][2]+g[i-1][3]+...+g[i-1][j-1]
$
$
g[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j+1]+...+f[i-1][i-1]
$
前缀和优化一波即可.

#include<cstdio>
int mod;
int f[2][5005],g[2][5005];
int main(){
  int n;scanf("%d%d",&n,&mod);
  //  f[i][j]=g[i-1][1]+g[i-1][2]+g[i-1][3]+...+g[i-1][j-1];
  //  g[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j+1]+...+f[i-1][i-1]
  int flag=0;
  f[flag][1]=g[flag][1]=1;
  for(int i=2;i<=n;++i){
    flag^=1;
    for(int j=1;j<=i;++j){
      f[flag][j]=g[flag^1][j-1];
      g[flag][j]=(f[flag^1][i-1]-f[flag^1][j-1]+mod)%mod;
    }
    for(int j=1;j<=i;++j){
      f[flag][j]=(f[flag][j]+f[flag][j-1])%mod;
      g[flag][j]=(g[flag][j]+g[flag][j-1])%mod;
    }
  }
  printf("%d\n",(f[flag][n]+g[flag][n])%mod);
  return 0;
}

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