BZOJ3505 & 洛谷P3166 [Cqoi2014]数三角形 【数学、数论】

题目

给定一个nxm的网格，请计算三点都在格点上的三角形共有多少个。下图为4x4的网格上的一个三角形。

注意三角形的三点不能共线。

输入格式

输入一行，包含两个空格分隔的正整数m和n。

输出格式

输出一个正整数，为所求三角形数量。

输入样例

2 2

输出样例

76

数据范围

1<=m,n<=1000

题解

比较容易想到的是用所有方案\(C_{n*m}^{3}\)减去共线的方案
水平和竖直共线很容易算，为\(n * C_{m}^{3}\)和\(m * C_{n}^{3}\)
主要是倾斜的线

我们跳出组合数的思维，考虑\(n \leq 1000\)，可以\(n^2\)
所以我们枚举每条线段的两端点的横坐标之差\(i\)和纵坐标之差\(j\)
显然这样的线段有\(2*(n - i)*(m-j)\)条【乘二是因为可以反过来】
线段上点的个数$ = gcd(i,j) + 1$
除去两端点还剩\(gcd(i,j)-1\)
所以每种线段的选点方案数=\(2*(n-i)*(m-j)*(gcd(i,j) - 1)\)

就解决了

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define LL long long int
using namespace std;
LL n,m,ans;
LL C(LL x){return x * (x - 1) * (x - 2) / 2 / 3;}
LL gcd(LL a,LL b){return b ? gcd(b,a % b) : a;}
int main(){
    cin>>n>>m; n++; m++;
    if (n > m) swap(n,m);
    ans = C(n * m) - C(m) * n - C(n) * m;
    for (int i = 2; i < n; i++)
        for (int j = 2; j < m; j++)
            ans -= 2 * (gcd(i,j) - 1) * (n - i) * (m - j);
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

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