题解 P1967 【货车运输】

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#数据结构与算法

本文探讨了如何利用最小生成树和树上倍增算法解决特定类型的图论问题，通过转换问题至树结构，实现高效求解。文章详细介绍了算法原理，包括反证法证明货车路径在最大生成树上，以及树上倍增算法的应用，最终通过实例代码展示了具体实现过程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

算法：最小生成树，树上倍增。

这道题要先知道一个结论，那就是货车走过的道路一定是在最大生成树上面的，证明可以使用反证法。十分显然。

之后，我们得到一棵树之后，就可以树上倍增了。我们同时维护一个lca数组和一个ans数组，分别用来表示从它开始第\(2^k\)父亲的节点和到父亲节点这么多地方最小的边权。到时候取答案就和lca一样。注意特判不在一棵树上的时候，直接使用最小生成树的时候使用的并查集就好了。

这个题目告诉我们，一些图论问题，把它转换为树之后，之后树上倍增就做到\(nlogn\)的时间复杂度，可以过很多题目。

直接上代码。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<cstdlib>
#include<vector>
#include<set>
#include<map>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<bitset>
#include<ctime>
using namespace std;

#define TMP template < class ins >
#define endl '\n'
#define RP(t,a,b) for(register int t=(a),edd=(b);t<=edd;t++)
#define ERP(t,a) for(register int t=head[(a)];t;t=e[t].nx)
#define DRP(t,a,b) for(register int t=(a),edd=(b);t>=edd;t--)
typedef long long ll;

TMP inline ins qr(ins tag){
    char c=getchar();
    ins x=0;
    int q=0;
    while(c<48||c>57)
    q=c==45?-1:q,c=getchar();
    while(c>=48&&c<=57)
    x=x*10+c-48,c=getchar();
    return q==-1?-x:x;
}
const int maxe=50005;
const int maxn=10005;
struct E{
    int to,w,nx;
}e[maxe<<1];

struct pre{
    int fr,to,w;
    inline bool operator < (pre y){
    return w>y.w;
    }
}data[maxe];
int head[maxn];
int cnt;
int Q;

inline void add(int fr,int to,int w,bool boooooo){
    e[++cnt]=(E){to,w,head[fr]};
    head[fr]=cnt;
    if(boooooo)
    add(to,fr,w,0);
}


int r[maxn];
inline int f(int x){
    int t=x;
    while(r[t]!=t)
    t=r[t];
    int i=x,temp;
    while(r[i]!=i){
    temp=r[i];
    r[i]=t;
    i=temp;
    }
    return t;
}
int m,n;


inline void j(int x,int y){
    r[f(x)]=f(y);
}


inline void mst(){
    sort(data+1,data+m+1);
    RP(t,1,n)
    r[t]=t;
    RP(t,1,m){
    if(f(data[t].to)!=f(data[t].fr)){
        j(data[t].to,data[t].fr);
        add(data[t].to,data[t].fr,data[t].w,1);
        //  cout<<data[t].to<<' '<<data[t].fr<<' '<<data[t].w<<endl;
    }
    }
}

int d[maxn];
int l[maxn][19];
int ans[maxn][19];
int lg[maxn];
bool usd[maxn];

TMP inline ins minn(ins a,ins b,ins c){
    if(a>b)
    a=b;
    if(a>c)
    return c;
    return a;
}
const int inf=99999999;

void dfs(int now,int last,int w){
    d[now]=d[last]+1;
    l[now][0]=last;
    ans[now][0]=w;
    RP(t,1,lg[d[now]]){
    l[now][t]=l[l[now][t-1]][t-1];
    ans[now][t]=min(ans[now][t-1],ans[l[now][t-1]][t-1]);
    }
    ERP(t,now)
    if(e[t].to!=last)
        dfs(e[t].to,now,e[t].w);
}

inline int ask(int x1,int x2){
    if(f(x1)!=f(x2))
    return -1;
    if(d[x1]<d[x2])
    swap(x1,x2);
    int ret=inf;
    while(d[x1]>d[x2])
    ret=min(ans[x1][lg[d[x1]-d[x2]]],ret),x1=l[x1][lg[d[x1]-d[x2]]];
    if(x1==x2)
    return ret;
    DRP(t,lg[d[x1]],0)
    if(l[x1][t]!=l[x2][t])
        ret=minn(ret,ans[x1][t],ans[x2][t]),x1=l[x1][t],x2=l[x2][t];
    return minn(ret,ans[x1][0],ans[x2][0]);
}

int t1,t2;
inline void eff(){
    RP(t,1,n){
    lg[t]=lg[t-1];
    if((1<<(lg[t]+1))==t)
        lg[t]++;
    }
    RP(t,1,n)
    if(!usd[f(t)])
        usd[f(t)]=1,dfs(t,0,inf);
    /*RP(t,1,n){
      RP(i,0,lg[t])
      cout<<ans[t][i]<<' ';
      cout<<endl;
      }
    */
    Q=qr(1);
    RP(t,1,Q){
    t1=qr(1);
    t2=qr(1);
    cout<<ask(t1,t2)<<endl;
    }
}


inline void init(){
    n=qr(1);
    m=qr(1);
    RP(t,1,m){
    data[t].fr=qr(1);
    data[t].to=qr(1);
    data[t].w=qr(1);
    }
    mst();
}



int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in.in","r",stdin);
    freopen("out.out","w",stdout);
#endif
    memset(ans,0x7f,sizeof ans);
    return init(),eff(),0;
}

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