经典排序算法：堆排序的原理与实现详解

基本概念

堆（Heap）是一种完全二叉树结构，同时满足 “堆性质”：

• 大根堆（Max Heap）：每个父节点的值 大于或等于 其左右子节点的值，堆顶（根节点）是整个堆的最大值。
• 小根堆（Min Heap）：每个父节点的值 小于或等于 其左右子节点的值，堆顶是整个堆的最小值。

堆的数据结构

堆通常用数组存储（完全二叉树适合数组表示，无需额外指针）。若数组索引从0开始，对于节点索引 i：

1. 左孩子节点索引：2*i+1
2. 右孩子节点索引：2*i+2
3. 孩子节点找父亲：（i-1）/2

堆排序的步骤

以升序为例

1. 创建大根堆
   从最后一个非叶子节点（索引为 n/2-1 ）开始向上调整，从后往前对每个节点做堆调整
2. 交换堆顶和堆尾元素，调整堆
   因为要实现升序排列，所以采用的是**“大根堆+向下调整算法”**的模式，关于创建大根堆和算法的实现留在代码实现部分讲解

代码实现

void AdjustDown(int arr[], int n, int parent)
{
	int child = parent * 2 + 1;
	while (child < n)
	{
		if (child + 1 < n && arr[child] < arr[child + 1])
		{
			child++; // 假设法 找出俩孩子里小的那个
		}

		if (arr[parent] < arr[child])
		{
			swap(arr[child], arr[parent]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

void HeapSort(int arr[], int n)
{
	// 先建堆
	for (int i = (n - 2) / 2; i >= 0; --i)
	{
		AdjustDown(arr, n, i);
	}

	for (int i = n - 1; i > 0; --i)
	{
		swap(arr[0], arr[i]);
		AdjustDown(arr, i, 0);
	}
}

• 建堆
  建堆选择从最后一个非叶子节点开始的原因是：叶子节点没有子节点，因此单个叶子节点本身就满足 “堆性质”
• 向下调整算法
  什么时候用向下调整算法？当调整的节点其子树已经为堆时就用向下调整算法

分析

其实堆排序的难点不在排序上，而在你是否对二叉树和堆有了解，了解过后实现排序就是看一遍代码的事情.

堆排序的时间复杂度为O(N*log2N)(这里是以2为底)，分别是构建堆O（N）和向下调整算法O（log2N）

堆排序是不稳定的排序算法。因为调整堆时，相同值的元素相对位置可能被交换

总结

堆排序利用大顶堆 / 小顶堆特性，通过 “构建堆 + 交换调整” 完成排序。它的时间复杂度稳定为O(n log n)，空间复杂度O(1)，是高效的原地排序算法，但稳定性不足。适合对性能要求高、不严格要求稳定性的场景（如大规模数据排序）。