11、非参数小波估计与回归技术及智能产品开发

非参数小波估计与回归技术及智能产品开发

在数据分析和信号处理领域，非参数估计和回归技术有着广泛的应用。同时，在产品开发中，如何让产品具备“智能”也是当下的热门话题。本文将介绍非参数小波估计与回归技术的相关内容，以及如何利用软计算技术让产品变得更具“智能”。

1. 平滑样条

平滑样条可以看作是线性回归技术的扩展，它能适应对拟合函数平滑性的约束。对于一维函数 (f)，其平滑性的自然度量是 (f) 的 (m) 阶导数 (f^{(m)}) 的积分函数。平滑样条估计器会寻找一个函数 (f(x))，使平滑性度量 (\int_{0}^{1}(f^{(m)}(x))^2 dx) 与平均平方残差 (\frac{1}{N}\sum_{i = 1}^{N}(y_{i}-f(t_{i}))^2) 的加权和最小：
[
\frac{1}{N}\sum_{i = 1}^{N}(y_{i}-f(t_{i}))^2+\lambda\int_{0}^{1}(f^{(m)}(x))^2 dx
]

当 (\lambda) 较大时，平滑性得到奖励，具有较大 (m) 阶导数的估计器会受到惩罚。在极限情况 (\lambda \to 0) 时，优化后的函数 (f(x)) 是最小二乘估计器。估计器可通过求解方程 ((\Phi^{T}\Phi + \lambda\cdot I)b=\Phi^{T}y) 得到，其中 (\Phi = {\phi_{j}(t_{i})}_{i,j = 1}^{n}) 是 (2m) 阶样条集的基。

为了实现真正的非参数估计，必须确定 (\lambda) 的值。这可以通过试错法，或者更优选地，使用交叉验证技术来完成。对于样条函数，已经开发出了高效的计算方法。