21、带最小批量的最大流问题与销售区域重新设计的多目标进化算法

带最小批量的最大流问题与销售区域重新设计的多目标进化算法

在实际的网络规划和销售管理中，带最小批量的最大流问题以及销售区域重新设计问题是两个重要的研究方向。下面将详细介绍这两个问题的相关算法和解决方法。

带最小批量的最大流问题

该问题考虑有向图中弧上存在最小批量约束，即要么零流量，要么流量在上下容量之间。由于新约束的析取性质，该问题是NP难的。

算法思路

算法从初始弧集开始，不断尝试扩展弧集，以提高最大流或减少约束违反。具体步骤如下：

Algorithm 1. Idea(G,ℓ,u,(t, s))
X ←{(t, s)} // 初始开放弧集仅包含循环弧
z∗←0, X∗←X // 最优解
repeat
    检查X是否可行
    if 可行性检查为正 then
        设x是GX中使xts最大的流分配
        if z(X) > z∗ then
            z∗←z(X), X∗←X // 更新最优解
            S ← 为增加xts建议的X的扩展
        else
            S ← 为减少约束违反建议的X的扩展
        X ← X ∪ S
until S = ∅
return X∗

可行性检查

为了检查弧集X是否可行，我们构建一个辅助网络$G’ X$，通过求解该网络中的标准最大流问题来判断。具体步骤如下：
1. 构建$G’_X=(N’, A’)$，其中$N’ = N ∪{s’, t’}$，$A’ = X ∪{