9、求解带时间窗的车辆路径问题的交叉熵多智能体学习算法

求解带时间窗的车辆路径问题的交叉熵多智能体学习算法

1. 问题背景与概述

在物流配送等领域，带时间窗的车辆路径问题（VRPTW）是一个关键的优化问题。其目标是确定一组从仓库出发并最终回到仓库的路线，使得总成本最小，同时满足每个客户仅被服务一次、车辆容量不被违反以及所有客户必须在服务时间窗内被服务等条件。传统的解决方法可能会陷入局部最优，因此本文提出了一种结合交叉熵（CE）方法和多智能体系统的算法来解决该问题。

2. 问题的数学表述

VRPTW问题可以用有向图 $G=(V, E)$ 来表示，其中顶点集 $V$ 由一个仓库（节点 0）和 $n$ 个客户（节点 1 到 $n$）组成，即 $V = {0, 1, …, n}$；弧集 $E$ 包含所有不同节点对 $(i, j)$，其中 $i, j \in V$ 且 $i \neq j$。

每个客户 $i$ 有需要交付的货物量 $d_i$，有一个时间窗 $[a_i, b_i]$，表示不能在 $a_i$ 之前和 $b_i$ 之后为该客户服务。车辆集合 $M = {1, 2, …, M}$，每个车辆 $m$ 有固定容量 $q_m$。每条弧 $(i, j)$ 有不对称的行驶时间 $t_{ij}$ 和运营成本 $c_{ij}$。

该问题的数学模型如下：
- 目标函数 ：
- 最小化总行驶成本：
- $\text{Min} \sum_{m \in M} \sum_{k \in \delta_m \setminus {0}} c_{r_m(k - 1)r_m(k)}$
- 约束条件 ：