5、线性代数中的稀疏矩阵、迭代方法与快速傅里叶变换

线性代数中的稀疏矩阵、迭代方法与快速傅里叶变换

1. 求解泊松方程的迭代步骤

在求解泊松方程时，不同的预条件子在不同网格大小下所需的迭代步骤不同。以下是在 31x31 和 63x63 网格上，以相对残差精度为 10⁻⁶ 求解泊松方程时，采用 PCG 方法结合不同预条件子的迭代步骤：
| 预条件子 | n = 31 | n = 63 |
| — | — | — |
| Jacobi | 76 | 149 |
| Block Jacobi | 57 | 110 |
| Symmetric Gauss - Seidel | 33 | 58 |
| Symmetric block Gauss - Seidel | 22 | 39 |
| SSOR (w = 1.8) | 18 | 26 |
| Block SSOR (w = 1.8) | 15 | 21 |

从表格数据可以看出，随着网格大小的增加，所需的迭代步骤也相应增加。同时，不同的预条件子对迭代步骤的影响显著，例如 Block SSOR 预条件子在两种网格大小下所需的迭代步骤都相对较少。

2. 并行化

PCG 和 GMRES 方法中最耗时的部分是系统矩阵 A 与向量的乘法以及使用预条件子 M 求解线性系统。当向量分布在连接较弱的内存中时，内积和向量范数的计算也会变得昂贵。因此，我们考虑对这三个关键操作进行并行化。
假设稀疏矩阵按块行分布在各个处理器上，相应地，向量也按块分布。虽然我们确定了数据的存储方式，但不预先固定矩阵中行和列的编号，因为这种编号会强烈影响 PCG 和 GMRES 中关键操作的并行性。