40、格枚举中极端剪枝技术的应用与分析

格枚举中极端剪枝技术的应用与分析

1. 引言

在格算法领域，寻找高效的格枚举算法是一个重要的研究方向。传统的格约化算法在处理高维格时面临着效率问题，而极端剪枝技术为解决这一问题提供了新的思路。目前，在随机格上的实验已经取得了显著的指数级加速效果，例如某些实验达到了$8.1 · 10^9$（或$1.0 · 10^8$）的加速比。然而，仍有许多问题有待进一步研究，如极端剪枝对格约化算法性能的精确影响，以及能否通过使用更多空间进一步改进算法等。

2. 预备知识

• 格的定义 ：格是$\mathbb{R}^m$的离散子群。任何格$L$都可以由一组基$(b_1, \ldots, b_n)$定义，其中基向量是$\mathbb{R}^m$中的线性无关向量，格$L$是这些基向量的所有整数线性组合的集合，即$L(b_1, \ldots, b_n) = {\sum_{i=1}^{n} x_ib_i, x_i \in \mathbb{Z}}$。所有基的元素个数$n$称为格的维数，它们的体积（也称为格的行列式）记为$vol(L)$。在本文中，使用矩阵的行表示。向量$v \in \mathbb{R}^m$的欧几里得范数记为$|v|$，半径为$R$的$n$维欧几里得球记为$Ball_n(R)$，其体积为$V_n(R) = R^n \cdot \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2 + 1)}$，$n$维单位球记为$S^{n - 1}$。
• 最短向量 ：格$L$中存在非零的具有最小欧几里得范数的向量，这个范数称为格$L$的第一极小值$\lambda_1(L)$。范数为$\lambda