7、神经模拟电路的数学建模基础

神经模拟电路的数学建模基础

1. 数学方法与类比或计算方法

对神经系统或其任何部分进行综合系统分析时，需要数学形式化，这就引出了几个关键问题：为何需要数学形式化？应采用何种表示方法以及哪些技术最适合解决所提出的问题？对于神经模拟电路，使用类比（即计算）方法还是数学方法更佳？

数学建模具有诸多优势。数学基于科学界普遍接受的定义，其推导命题和定量物理定律具有严谨性。数学模型包含状态变量之间的关系，每个机制用一组微分或代数方程描述，对这些方程进行数学整合可得到所观察现象的全局解。具体而言，数学建模有两个优点：一是简化了在时间和空间上实验观察到的系统行为；二是能从数值上揭示一些在实验中难以观察到的约束条件的后果，例如去除子系统之间的耦合。

数学建模与现实相符，它是已知机制与物理、化学或其他约束条件的复杂整合。方程展示了机制在时间和空间上的运行方式，基于这些机制的数学推导能得出非显而易见的特定自然规律。在适当的表示中，可能会出现“新兴”规律，这里采用的是分层表示。由于复杂方程通常需要复杂的数学处理，最后一步是在计算机上对这些方程进行数值求解。这种方法与计算方法有很大不同，计算方法通常先考虑用电阻 - 电感 - 电容（RLC）电路表示的“类比”神经元来进行数值求解。在数学建模中，方程的求解是在连续空间中进行的，离散化仅取决于求解的数学约束，而不取决于神经元的位置。在简单情况下，两种技术可能得出相同结果，但对于更复杂的模型，只有数学方法才适用。

数学建模不仅能建立可观测变量之间的关系，在正确的表示中，还能出现简化和特定的组织形式，即功能顺序。例如，将矩阵转换为对角矩阵（只有对角线上的数，即特征值不为零），能使系统的响应与输入直接相关。通过这种数学变换，状态变量保持独立，子系