18、随机变量与概率分布：离散与连续的探索

随机变量与概率分布：离散与连续的探索

在概率与统计的领域中，随机变量是一个核心概念，它可以分为离散随机变量和连续随机变量。下面我们将深入探讨这两种随机变量的特性、相关函数以及如何使用 MATLAB 进行模拟和计算。

1. 离散随机变量

随机变量是将实数赋予样本空间 $S$ 中每个样本点 $t$ 的单值实函数。离散随机变量只能取有限个或可数个值，例如抛硬币的结果（正面或反面）。

1.1 概率质量函数

对于离散随机变量 $X$，其可能取值为 $x_1, x_2, x_3, \cdots$，每个取值 $x_i$ 都有对应的正概率 $p_X[x_i] = P(X = x_i)$，由概率质量函数给出。对于不同于 $x_i$ 的值 $x$，概率质量函数为零。概率质量函数具有以下性质：
- $0 \leq p_X[x_k] < 1$
- 若 $x \neq x_k$，$p_X[x] = 0$，其中 $k = 1, 2, \cdots$
- $\sum_{n} p_X[x_n] = 1$

例如，掷一个公平的骰子，离散随机变量 $X$ 的可能取值为 $1, 2, 3, 4, 5, 6$，每个取值的概率 $p_X[x_i] = \frac{1}{6}$，且 $\sum_{i = 1}^{6} p_X[x_i] = 1$。

1.2 特殊类型的随机变量

• 独立随机变量 ：一个随机变量的实现不影响另一个随机变量的概率分布。
• 同分布随机变量 ：随机变量具有相同的概率分布。 <