21、黑体辐射、原子发射与激光：原理与应用

黑体辐射、原子发射与激光：原理与应用

激光基础：粒子数反转与速率方程

在激光的世界里，粒子数反转是一个核心概念。在热平衡状态下，依据玻尔兹曼分布 (Ne^{−E/kT})（其中 (k) 是玻尔兹曼常数），较低能级的占据数多于较高能级。然而，激光作用却需要相反的情况，即更多电子处于较高能级，这就是粒子数反转。

我们考虑一个简单的双能级系统，上能级为 (E_2)，下能级为 (E_1)。光子数 (N_1) 和 (N_2) 随时间的变化由以下速率方程描述：
- (\frac{dN_1}{dt} = -N_1B_{12}u(\nu) + N_2B_{21}u(\nu) + N_2A_{21})
- (\frac{dN_2}{dt} = +N_1B_{12}u(\nu) - N_2B_{21}u(\nu) - N_2A_{21})

这里，(u(\nu)) 是辐射密度，(B_{12}) 是受激吸收的爱因斯坦系数，(B_{21}) 是受激发射的爱因斯坦系数，(A_{21}) 是自发发射系数。对于原子振子，由于原子能级可能简并，我们需要考虑权重 (g)，此时有 (g_1B_{12} = g_2B_{21})。

激光作用的必要条件是粒子数反转，即上能级的光子数多于下能级。仅考虑受激发射和吸收过程，上能级的光子数为 (N_1B_{12}u(\nu))，下能级为 (N_2B_{21}u(\nu))，光子数随时间的变化为 (\frac{dn_p}{dt} = [N_2 - N_1(\frac{g_2}{g_1})]B_{21}u(\nu))。要实现激光作用，需满足 (N_2 - N_1\frac{g_2}{g_1} > 0)，即 (N_2/g_2 > N