11、进化策略的收敛行为分析

进化策略的收敛行为分析

1. 引言

进化策略（Evolution Strategies, ES）作为进化算法的一种，因其强大的全局优化能力和鲁棒性，被广泛应用于各种复杂优化问题。本文将深入探讨进化策略的收敛特性，包括收敛可靠性和收敛速度。通过理论和实证分析，我们将揭示如何调整策略参数以确保算法高效地收敛到最优解。

2. 收敛可靠性

2.1 规则优化问题的定义

为了确保进化策略（ES）的收敛性，首先需要定义规则优化问题。一个优化问题 ( f^ = f(x^ ) = \min{f(x) \mid x \in M \subseteq \mathbb{R}^n} ) 被称为规则的当且仅当下列条件成立：

• ( f^* > -\infty )
• ( x^* \in \text{int}(M) )，即最优解位于搜索空间的内部
• ( \mu({x \in M \mid f(x) \in U_f \cup U^*}) > 0 )，其中 ( \mu ) 是勒贝格测度，( U_f ) 是目标函数 ( f ) 的 ( f )-邻域

这里的 ( f ) 被称为目标函数，( f^ ) 是全局最小值，( x^ ) 是优化问题的最优解。这些条件确保了优化问题的解集不是孤立的，并且在搜索空间中具有一定的概率被找到。

2.2 收敛定理

在使用（1+1）-ES时，每代只有一个父代和一个子代，采用精英选择策略，不使用重组，仅使用高斯变异算子 ( x(t+1) = x(t) + Z )，