69、交互式与非交互式零知识证明：量子与统计视角

交互式与非交互式零知识证明：量子与统计视角

1. 量子交互式与非交互式统计零知识证明

量子统计零知识证明是量子交互式证明的一种特殊情况。我们可以将量子交互式协议 ⟨P, V ⟩(x) 看作是在空间 V ⊗M ⊗P 上的一系列电路 (V1(x), P1(x), … , Vk(x), Pk(x))。其中，V 是验证者的私有量子比特，M 是消息量子比特，P 是证明者的私有量子比特。Vi(x)（或 Pi(x)）表示协议中验证者（或证明者）的第 i 个动作，分别作用于 V ⊗M（或 M⊗P）。βi 对应于协议第 i 个动作之后出现的状态。

我们对完备性和可靠性的定义与经典协议的情况完全相同。如果一个协议 ⟨P, V ⟩ 的完备性大于 2/3 且可靠性小于 1/3，我们就说该协议解决了问题 Π。

在零知识的设定下，我们还希望验证者除了知道 x ∈ΠY 这一事实之外，从交互中一无所获。形式化的表述是，对于 x ∈ΠY，验证者可以模拟他对协议的观察。我们只关注诚实验证者协议，其中验证者和证明者使用幺正操作，因为根据相关研究，使用幺正操作的诚实验证者等价于允许使用任何允许操作的作弊验证者。

验证者对协议的观察是他的私有量子比特和消息量子比特，即 view⟨P,V ⟩(j) = TrP(βj)。我们还根据最后一个动作是由验证者还是证明者做出的，来区分验证者的观察。我们将输入状态记为 ρ0，将证明者 Pi 动作之后验证者对协议的观察记为 ρi，将验证者 Vi 动作之后验证者对协议的观察记为 ξi。

• 定义 34 ：如果存在一个量子多项式时间模拟器 σ 和一个可忽略函数 μ，使得对于每个输入 x ∈ΠY 和 ∀j，