11、密码学中的多种加密算法与椭圆曲线密码学

密码学中的多种加密算法与椭圆曲线密码学

1. 模平方相关加密算法

在密码学领域，RSA 密码系统的破解难度与大数分解问题紧密相关，不过目前尚无证据证明破解 RSA 就等同于解决大数分解问题。Rabin 提出了一种密码系统，其底层加密算法的破解难度被证明与大数分解相当。

1.1 Rabin 加密算法

• 密钥生成 ：和 RSA 方案类似，随机为 Bob 选取两个大的不同质数 $p$ 和 $q$。为了加快解密算法，通常选择满足 $p, q \equiv 3 \mod 4$ 的质数，即形如 $4k + 3$ 的质数。将 $n = pq$ 作为公钥，$p$ 和 $q$ 作为私钥。
• 加密与解密 ：
  • 加密 ：假设待加密的消息是 $Z_n$ 中的元素，使用模平方单向函数 $E: Z_n \to Z_n, m \to m^2$ 作为加密函数。
  • 解密 ：Bob 要解密密文 $c$，就需要计算 $c$ 在 $Z_n$ 中的平方根。利用中国剩余定理，将 $Z_n$ 分解为 $\phi: Z_n \to Z_p \times Z_q, c \to (c \mod p, c \mod q)$，然后分别计算 $c \mod p$ 和 $c \mod q$ 的平方根，再将这些解组合起来得到 $c$ 在 $Z_n$ 中的平方根。若 $p$ 整除 $c$（或 $q$ 整除 $c$），则 $c$ 在 $Z_p$（或 $Z_q$）中的唯一平方根是 0；否则，$c$ 在 $