33、数学与机器学习在医学和几何中的应用探索

数学与机器学习在医学和几何中的应用探索

1. 曲线相关概念与证明

在曲线研究中，为了方便，引入了α - 曲线的定义。若曲线γ满足αγ = α，则称其为α - 曲线。这里考虑一个不能表示为函数图像的螺旋线σ，其参数定义如下：
σ = { (x, y) : x = ekϕ cos ϕ, y = ekϕ sin ϕ, −∞ < ϕ < ∞ } ∪ { (0, 0) }
其中点O = (0, 0)被添加到σ中以实现闭合，因为只有对闭合集才能计算其非凸性的度量α。

对于某些k值，曲线σ不能表示为函数的图像。下面证明，通过选择合适的参数k，可以使ασ取区间(0, π)内的任意值。

步骤如下：
1. 求切线方程 ：取曲线σ上对应参数值ϕ = ϕ0的任意点P0 = (x0, y0)，切线方程为：
- (x = x0 + x′(ϕ0)t)
- (y = y0 + y′(ϕ0)t)，其中(t ∈ (−∞, ∞))
- 又因为(x′(ϕ0) = kekϕ0 cos ϕ0 - ekϕ0 sin ϕ0 = kx0 - y0)，(y′(ϕ0) = kekϕ0 sin ϕ0 - ekϕ0 cos ϕ0 = ky0 + x0)，所以切线方程可表示为：
- (x = x0 + (kx0 - y0)t)
- (y = y0 + (ky0 + x0)t)，(t ∈ (−∞, ∞))
2. 求法线方程 ：根据切线方程，可写出曲线σ在点P0处法线的参数方程：
- (x = x0 + (x0 + ky0)t)
- (y = y0