26、图近似问题的多面体攻击

图近似问题的多面体攻击

1. 符号和基本概念

1.1 多面体与有效不等式

在欧几里得空间中，若集合 $P$ 是有限点集的凸包，则称其为多面体。对于多面体 $P$，线性不等式 $a^T x \leq a_0$（其中 $a \neq 0$），若多面体中的所有点都满足该不等式，则称其为有效不等式。若存在多面体中的至少一个点 $x$ 满足等式 $a^T x = a_0$，则该有效不等式称为支撑不等式。每个支撑不等式为多面体 $P$ 生成一个面 ${x \in P | a^T x = a_0}$，若该面在包含关系下是最大的，则称为面（facet）。显然，每个面的维度比多面体的维度小 1，产生面的支撑不等式称为面不等式。

1.2 多面体与图的表示

欧几里得空间中的多面体是有界线性方程组和不等式组的所有解的集合。根据 Weyl - Minkowski 定理，每个多面体都对应一个多胞形，反之亦然。

对于具有 $n$ 个顶点的完全简单图 $K_n$ 的任意子图 $D$，分别用 $V_D$ 和 $E_D$ 表示其顶点集和边集。对于边 $e \in E_D$，若顶点 $u$ 和 $v$ 与边 $e$ 相关联，则用 $uv$ 表示该边。图的并和交运算按边的意义理解。

对于图 $K_n$，考虑维度为 $\frac{n^2 - n}{2}$ 的欧几里得空间 $\mathbb{R}^E$，为图的每条边在该空间中定义一个轴。生成子图 $D \subseteq K_n$ 的关联向量是 $\mathbb{R}^E$ 中的向量 $x_D$，其中若 $e \in E_D$，则 $x_{D_e} = 1$，否则 $x_{D_e} = 0$。这样，$K_n