22、一维 K-Means 与给定 J 中心问题的多项式可解性

一维 K-Means 与给定 J 中心问题的多项式可解性

1. 问题提出及相关背景

在聚类分析中，K-Means 问题是一个经典问题。给定一个在 d 维欧几里得空间中的 N 个点的集合 Y 和一个正整数 K，需要将集合 Y 划分为非空的簇 $C_1, \cdots, C_K$，使得以下求和最小：
[
\sum_{j = 1}^{K} \sum_{y \in C_k} |y - y(C_k)|^2
]
其中，$y(C_k) = \frac{1}{|C_k|} \sum_{y \in C_k} y$ 是第 k 个簇的质心。K-Means 问题也被称为最小平方和聚类（MSSC），在统计学领域早有研究。

近年来，有研究证明了 K-Means 问题是强 NP 难的。不过，在一维情况下，该问题具有多项式可解性。例如，Rao 在 1971 年提出了一个动态规划算法，其运行时间为 $O(KN^2)$。

本文研究的是一个与 K-Means 问题形式相近但研究较少的问题：

问题 1（K-Means 和给定 J 中心） ：给定一个在 d 维欧几里得空间中的 N 个点的集合 Y、一个正整数 K 和一个点的元组 ${c_1, \cdots, c_J}$，需要将 Y 划分为非空的簇 $C_1, \cdots, C_K, D_1, \cdots, D_J$，使得：
[
F = \sum_{k = 1}^{K} \sum_{y \in C_k} |y - y(C_k)|^2 + \sum_{j = 1}^{J} \sum_{y \in D_j} |y - c_j|^2 \to \min