ACM之近期学习总结

最近做了一些二分的Vjudge上面的题目，除此之外，自己还做了一些题练习练习。接下来总结一下这几天所学。

 

一.  二分结合简单数学变形的式子以及数学几何解决问题

题意：输入n，u，给你n个数，严格单调递增，数据范围1e9.,然后让你选出三个数，下标分别为i,j,k，(i<j<k),且a[k]-a[i]<=u,求(a[k]-a[j])/(a[k]-a[i])的最大值。

思路：当a[k]为定值时，要求式子最大，则应a[j]较小，a[i]较大。又i<j,所以j=i+1.又题目要求的公式的最大值可化为(a[k]-a[j])/(a[j]-a[i]+a[k]-a[j])，即x/(x+常数）的形式，要使比值最大，则应使x尽可能大，即a[k]-a[j]尽可能大，把i,j看成已知，则需使a[k]尽可能大，由于题目给定a[k]-a[i]<=u，这样我们只需要对于每一个i找到最大的k使得a[k]-a[i]<=u即为起始为i的函数的最大值。

总结：此题关键为变形为(a[k]-a[j])/(a[j]-a[i]+a[k]-a[j])，即x/(x+常数）的形式，然后结合数学性质，再联系题意，对k进行二分。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,u;
int a[100005];
int main(){
    while(cin>>n>>u){
        for(int i=1;i<=n;i++){
            cin>>a[i];
        }
        double re=-1;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            int low=i+2,high=n;
            int result=-1;
            while(low<=high){
                int mid=(low+high)/2;
                if(a[mid]-a[i]<=u){
                    result=mid;
                    low=mid+1;
                }
                else {
                    high=mid-1;
                }
            }
            if(result!=-1){
                re=max(re,(double)(a[result]-a[i+1])/(double)(a[result]-a[i]));
            }
        }
        if(re==-1){
            cout<<-1<<endl;
        }
        else {
            cout<<re<<endl;
        }
    }
return 0;
}

题意：当一根长度为l的细杆被加热n度时，它会扩展到一个新的长度l'=（1+n*c）*l，其中c是热膨胀系数。              

当一根细杆安装在两个实心壁上然后加热时，它会膨胀并呈圆形节段，原来的杆是节段的弦。            

 你的任务是计算杆中心位移的距离。

 

 

思路：

如图，蓝色为杆弯曲前，长度为L。  红色为杆弯曲后，长度为s。

依题意知 ，S=(1+n*C)*L，又从图中得到三条关系式;

（1）      θr = 1/2*s

（2）      sinθ= 1/2*L/r

（3）       r^2 – ( r – h)^2 = (1/2*L)^2

化简得：

h的范围为  0<=h<1/2L

这样每次利用下界low和上界high就能得到中间值mid，寻找最优的mid使得(2)式左右两边差值在精度范围之内，那么这个mid就是h

总结：这个主要运用数学几何的知识来解决问题，同时利用了对h进行二分与s进行比较来得到答案

 

二.  筛法

题意：先构造素数表，然后判断输入的n是否为素数，如果是素数的话，直接输出0，如果不是素数的话找到两个连续的素数，分别大于n和小于n输出这两个素数的差即为答案。

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define LL long long
using namespace std;
#define N 5000005
LL prime[N];
int cnt=1;
bool bprime[N];
void make_prime()
{
      memset(bprime,true,sizeof(bprime));
      bprime[0]=false;
      bprime[1]=false;
      for(LL i=2;i<=N;i++)
      {
           if(bprime[i])
           {
                prime[cnt++]=i;
                for(LL j=i*i;j<=N;j+=i)
                bprime[j]=false;
           }
       }
   }
int main()
{
    make_prime();
    LL n;
    while(scanf("%lld",&n)!=EOF&&n)
    {
          if(bprime[n])
           printf("0\n");
          else
          {
               for(LL i=1;i<=cnt;i++)
               if(prime[i]<n&&prime[i+1]>n)
               printf("%lld\n",prime[i+1]-prime[i]);
          }
     }
 return 0;
}

总结：一般与素数有相连的题目时，我们一般先构造一个素数表。然后判断每一个数时直接利用素数表直接查询，而不是用到哪个数时，在调用素数判断函数进行判断，那样会超时。