ACM之近期背包学习总结

1. 背包问题

 

一.01 背包问题

题目：
有 N件物品和一个容量为 V的背包。第 i 件物品的重量是 c[i] ，价值是 w[i] 。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大

基本思路：
这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。
用子问题定义状态： 即 f[i][v] 表示前 i 件物品恰放入一个容量为 v 的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：
f[i][v]=max{f[i][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]} 

 

for(int i=0;i<n;i++)
{
    for(int j=W;j>=w[i];j--)
    {
        dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i])
    }
}

初始化的细节问题
我们看到的求最优解的背包问题题目中， 事实上有两种不太相同的问法。 有的题目要求“恰好装满背包”时的最优解，有的题目则并没有要求必须把背包装满。
一种区别：这两种问法的实现方法是在初始化的时候有所不同。
如果是第一种问法， 要求恰好装满背包，那么在初始化时除了 f[0] 为 0 其它f[1..V] 均设为 - ∞，这样就可以保证最终得到的 f[N] 是一种恰好装满背包的最优解。
如果并没有要求必须把背包装满，而是只希望价格尽量大，初始化时应该将f[0..V] 全部设0。                                                                 

 

 

二. 完全背包问题

题目：
有 N种物品和一个容量为 V的背包，每种物品都有无限件可用。 第 i 种物品的费
用是 c[i] ，价值是 w[i] 。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不
超过背包容量，且价值总和最大。

基本思路：
这个问题非常类似于 01 背包问题 ，所不同的是每种物品有无限件。也就是从每种物品的角度考虑，与它相关的策略已并非取或不取两种，而是有取 0 件、取 1件、取 2 件,, 等很多种。 

for(int i=0;i<n;i++)
{
    for(int j=w[i];j<=W;j++)
    {
        dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
    }
}

 

 

三. 多重背包问题

题目：
有 N种物品和一个容量为 V的背包。第 i 种物品最多有 n[i] 件可用，每件费用是 c[i] ，价值是 w[i] 。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大

基本算法：
这题目和完全背包问题很类似。 基本的方程只需将完全背包问题的方程略微一改即可，因为对于第 i 种物品有 n[i]+1 种策略：取 0 件，取 1 件,, 取 n[i] 件。令 f[i][v] 表示前 i 种物品恰放入一个容量为 v 的背包的最大权值， 

for(int i=0;i<n;i++)
{
    int num=n[i];
    for(int k=0;k<=num[i];k++)
    {
        for(int j=W;j>=w[i];j--)
        {
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
        }
    }
}

 

2. while(scanf("%d%d",&n,&m)==2&&n&&m)的含义 

第一个数输入的返回值 两个%d, 意思为只有输出两个整数后才返回2 所以 scanf() == 2
&& 的意思为： 不但要输入2个整数int类型的数 还有n且m不等于0；

例如： 我们输入 0 0 并按回车 这样循环条件是不成立的
scanf == 2 成立
但n和m没有满足都不是0的条件

例如：我们输入 2 0 并按回车 一样m不成立 n 和scanf 是都成立的

例如：我们输入 a 1 并按回车 scanf 不成立 应为输入的不是整数 scanf == 1