牛客题解 | 2x2矩阵的奇异值分解(SVD)

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2x2矩阵的奇异值分解(SVD)是一种常用的矩阵分解方法,用于将矩阵分解为两个正交矩阵和一个对角矩阵。

本题使用了一种几何方法,但基础原理是Jacobi方法,具体公式如下:

设矩阵A为:

A = [ a b c d ] A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} A=[acbd]

Jacobi方法的步骤如下:
  1. 计算矩阵A的特征值和特征向量。
  2. 通过旋转矩阵将A对角化,得到奇异值。
  3. 最终的分解形式为:
    A = U Σ V T A = U \Sigma V^T A=UΣVT
    其中, U U U V V V为正交矩阵, Σ \Sigma Σ为对角矩阵,包含奇异值。
    而本题利用几何方法简化了旋转矩阵的计算,具体公式如下:
    U = [ − c 1 − s 1 − s 1 c 1 ] U = \begin{bmatrix} -c1 & -s1 \\ -s1 & c1 \end{bmatrix} U=[c1s1s1c1]
    s = [ ( h 1 + h 2 ) / 2.0 a b s ( h 1 − h 2 ) / 2.0 ] s = \begin{bmatrix} (h1 + h2) / 2.0 \\ abs(h1 - h2) / 2.0 \end{bmatrix} s=[(h1+h2)/2.0abs(h1h2)/2.0]

标准代码如下

def svd_2x2(A: np.ndarray) -> tuple:
    y1, x1 = (A[1, 0] + A[0, 1]), (A[0, 0] - A[1, 1])
    y2, x2 = (A[1, 0] - A[0, 1]), (A[0, 0] + A[1, 1])

    h1 = np.sqrt(y1**2 + x1**2)
    h2 = np.sqrt(y2**2 + x2**2)

    t1 = x1 / h1
    t2 = x2 / h2

    cc = np.sqrt((1.0 + t1) * (1.0 + t2))
    ss = np.sqrt((1.0 - t1) * (1.0 - t2))
    cs = np.sqrt((1.0 + t1) * (1.0 - t2))
    sc = np.sqrt((1.0 - t1) * (1.0 + t2))

    c1, s1 = (cc - ss) / 2.0, (sc + cs) / 2.0
    U = np.array([[-c1, -s1], [-s1, c1]])

    s = np.array([(h1 + h2) / 2.0, abs(h1 - h2) / 2.0])

    V = np.diag(1.0 / s) @ U.T @ A

    return U, s, V
本题也可以使用numpy库的linalg.svd函数实现,这里给出具体实现:
def svd_2x2(A: np.ndarray) -> tuple:
    U, s, V = np.linalg.svd(A)
    return U, s, V
### 关于 HJ39 题目蛇形矩阵的 C 语言实现 对于给定的问题,可以采用双重循环结构来构建所需的蛇形矩阵。此方法通过计算每一项的位置并填充相应的数值完成矩阵构造。 下面是一个完整的解决方案: ```c #include <stdio.h> int main() { int n; scanf("%d", &n); // 创建二维数组存储结果 int matrix[n][n]; // 初始化计数器变量用于生成序列中的下一个数字 int currentNumber = 1; for (int layer = 0; layer < n; ++layer) { for (int row = layer, col = 0; row >= 0 && col <= layer; --row, ++col) { if (row < n && col < n){ matrix[row][col] = currentNumber++; } } for (int col = layer + 1, row = 0; col < n && row <= layer; ++col, --row) { if (row >= 0 && col < n){ matrix[row][col] = currentNumber++; } } } // 打印最终的结果矩阵 for (int i = 0; i < n; ++i) { for (int j = 0; j <= i; ++j) { printf("%d ", matrix[i - j][j]); } printf("\n"); } return 0; } ``` 上述代码实现了如下功能: - 使用 `scanf` 函数读取用户输入的正整数 N。 - 定义了一个大小为 N×N 的二维数组用来保存生成的蛇形矩阵。 - 利用两个嵌套循环按照特定模式遍历整个矩阵,并按顺序填入连续增加的自然数。 - 最后再次利用两层循环输出形成的蛇形矩阵,注意这里只打印下三角部分[^1]。 #### 注意事项 该程序假设输入的是有效范围内的正整数(即不超过100)。如果需要处理更广泛的边界情况,则应适当调整逻辑以适应这些需求。
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