计算某个矩阵的SVD分解与伪逆的

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#线性代数 #算法

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本文详细介绍了如何使用奇异值分解(SVD)来计算一个具体矩阵的伪逆。通过计算矩阵A的转置乘积的特征值及特征向量，并进一步求解SVD分解中的各个组成部分，最终给出了矩阵A的伪逆表达式。

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SVD的理论推导

$通过SVD分解计算矩阵A=\begin{bmatrix}3&2&2\\2&3&-2\end{bmatrix}的伪逆$
$A^TA 的特征值 λ_1,λ_2,λ_3(λ_1 ≥ λ_2 ≥ λ_3) 和对应的特征向量v_1,v_2,v_3。\tiny要求使得 ||v_i|| = 1 且第一个坐标非负，i = 1,2,3$
$A^TA =\begin{bmatrix}13&12&2\\12&13&-2\\2&-2&8\end{bmatrix}\\ 由det(\lambda I-A^TA)=0求得λ_1 =25， λ_2=9 ， λ_3=0\\ 由方程组(\lambda_iI-A^TA)x =0解得特征向量为\\ v_1=\begin{bmatrix}\frac{\sqrt 2}{2}\\\frac{\sqrt 2}{2}\\0\end{bmatrix}, v_2=\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt {18}}\\\frac{-1}{\sqrt {18}}\\\frac{4}{\sqrt {18}}\end{bmatrix}, v_3=\begin{bmatrix}\frac{2}{3}\\\frac{-2}{3}\\\frac{-1}{3}\end{bmatrix}$
$2) 计算 Av_1,Av_2,Av_3$
$Av_1=\begin{bmatrix}\frac{5\sqrt{2}}{2}\\ \frac{5\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix},Av_2=\begin{bmatrix}\frac{9}{\sqrt{18}}\\ \frac{-9}{\sqrt{18}} \end{bmatrix},Av_3=\begin{bmatrix}0\\ 0 \end{bmatrix}$
$(3) 由此给出 A 的 S V D 分解$
$A=U\Sigma V^T(U_{m,m（正交阵）},{\Sigma}_{m,n},V_{n,n（正交阵）}) \\ \color{blue}(A^TA)v_i=\lambda v_i , \ \ \sigma_i =\sqrt {\lambda_i}\ \ ,u_i=\frac{1}{\sigma_i}Av_i$
$A=\begin{bmatrix} \frac{\sqrt 2}{2}& \frac{\sqrt 2}{2}\\ \frac{\sqrt 2}{2}&- \frac{\sqrt 2}{2}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}5&0&0\\0&3&0\end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{\sqrt 2}{2}& \frac{\sqrt 2}{2} & 0 \\\frac{1}{\sqrt {18}} & \frac{-1}{\sqrt {18}} &\frac{4}{\sqrt {18}} \\\frac{2}{3} &\frac{-2}{3} &\frac{-1}{3} \end{bmatrix}$

$(4) 给出 A 的伪逆 A †$
$A†=V({\Sigma^{-1}}^T) U^T\\ =\begin{bmatrix}\frac{\sqrt 2}{2}& \frac{1}{\sqrt {18}} &\frac{2}{3} \\\frac{\sqrt 2}{2} & \frac{-1}{\sqrt {18}} &\frac{-2}{3} \\0 & \frac{4}{\sqrt {18}} &\frac{-1}{3} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\frac15&0\\0&\frac13\\ 0&0\end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{\sqrt 2}{2}& \frac{\sqrt 2}{2}\\ \frac{\sqrt 2}{2}&- \frac{\sqrt 2}{2}\end{bmatrix}$