牛客题解 | 斐波那契数列

题目

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#描述
此题是非常经典的入门题了。我记得第一次遇到此题是在课堂上，老师拿来讲“递归”的（哈哈哈）。同样的类型的题还有兔子繁殖的问题。大同小异。此题将用三个方法来解决，从入门到会做。
考察知识：递归，记忆化搜索，动态规划和动态规划的空间优化。
难度：一星

#题解
###方法一：递归
题目分析，斐波那契数列公式为：f[n] = f[n-1] + f[n-2], 初始值f[0]=0, f[1]=1，目标求f[n]
看到公式很亲切，代码秒秒钟写完。

class Solution {
public:
    int Fibonacci(int n) {
        if (n<=2) return 1;
        return Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2);
    }
};

优点，代码简单好写，缺点：慢，会超时
时间复杂度：O(2^n)
空间复杂度：递归栈的空间
###方法二：记忆化搜索
拿求f[5] 举例

通过图会发现，方法一中，存在很多重复计算，因为为了改进，就把计算过的保存下来。
那么用什么保存呢？一般会想到map， 但是此处不用牛刀，此处用数组就好了。

class Solution {
public:
    int f[50]{0};
    int Fibonacci(int n) {
        if (n <= 2) return 1;
        if (f[n] > 0) return f[n];
        return f[n] = (Fibonacci(n-1)+Fibonacci(n-2));
    }
};

时间复杂度：O（n）， 没有重复的计算
空间复杂度：O（n）和递归栈的空间

方法三：动态规划

虽然方法二可以解决此题了，但是如果想让空间继续优化，那就用动态规划，优化掉递归栈空间。
方法二是从上往下递归的然后再从下往上回溯的，最后回溯的时候来合并子树从而求得答案。
那么动态规划不同的是，不用递归的过程，直接从子树求得答案。过程是从下往上。

class Solution {
public:
    int dp[50]{0};
    int Fibonacci(int n) {
        dp[1] = 1, dp[2] =1;
        for (int i = 3 ; i <= n ; i ++) dp[i] = dp[i-1]+dp[i-2];
        return dp[n];
    }
};

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(n)
###继续优化
发现计算f[5]的时候只用到了f[4]和f[3], 没有用到f[2]…f[0],所以保存f[2]…f[0]是浪费了空间。
只需要用3个变量即可。

class Solution {
public:
    int Fibonacci(int n) {
        int a = 1 , b = 1 , c = 1;
        for (int i = 3 ; i <= n ; i ++) {
            c = a+b , a = b , b = c;
        }
        return c;
    }
};

时间复杂度：O（n）
空间复杂度：O（1）
完美！