第二话 统计计算之蒙特卡洛积分和方差缩减技术（未完待续）

统计计算

第一话 统计计算之随机变量生成方法

第二话 统计计算之蒙特卡洛积分和方差缩减技术

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前言

蒙特卡罗积分是一种基于随机抽样的统计模拟的方法，本博客重点介绍几种常见的蒙特卡罗积分的方法以及几种常见的方差缩减的技术，在实际中有着广泛的应用。

1 蒙特卡洛积分

1.1 基本原理

假设$g(x)$是一个函数，并且我们想要计算${\int }_a^{b}g(x)dx$。假设$X$是一个随机变量，密度为$f(x)$，则随机变量$Y=g(X)$的数学期望为：

$$E[g(X)]={\int }_{-\infty }^{\infty }g(x)f(x)dx$$

假设随机样本是从$X$的分布中抽取的，那么$E[g(X)]$的无偏估计就是样本均值。这是蒙特拉罗积分的理论基础。

1.2 [0，1]区间上的简单蒙特卡洛估计

假设现在考虑一个积分问题：

$$\theta ={\int }_0^{1}g(x)dx$$

由于积分区间是0到1，因此我们假设随机变量$X_1,\dots ,X_m$是来自均匀分布$U(0,1)$的样本，根据1.1节的基本原理，则有：

$$\hat{\theta }=\overline{g_m(X)}=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m$$