10、模约简算法详解

模约简算法详解

1. 引言

在数学计算中，模约简是一项重要的操作。当一系列操作都使用相同的模数时，预先计算一些常量虽然有一次性成本，但后续操作会比直接进行除法运算快很多。接下来将详细介绍几种常见的模约简算法。

2. 蒙哥马利约简算法（Montgomery Reduction）

蒙哥马利约简算法用于计算 $xR^{-1} \bmod m$，其中 $R^{-1}$ 是 $R$ 关于 $m$ 的乘法逆元。该算法在模幂运算等场景中非常有用。

2.1 算法原理

可以通过两次约简并中间乘以 $R^2 \bmod m$ 来计算 $x \bmod m$：
- 第一次约简：$u = xR^{-1} \bmod m$
- 计算：$z = u (R^2 \bmod m)$
- 第二次约简：$y = (zR^{-1}) \bmod m$

经过推导可得 $y = x \bmod m$。

$x$、$m$ 和 $R$ 需要满足以下三个条件：
- $\gcd(m, R) = 1$，确保乘法逆元存在。
- $m < R$，保证算法在乘法运算中有效。
- $0 \leq x < mR$，确保算法的正确性。

在计算机实现中，$R$ 通常取 2 的幂次方，此时 $m$ 必须为奇数以满足第一个条件。

2.2 算法步骤

设 $R^{-1}$ 是 $R$ 关于 $m$ 的乘法逆元，$m^{-1}$ 是 $m$ 关于 $R$ 的乘法逆元，$\tilde{m}$ 是 $m^{-1}$ 关于 $R$ 的加法逆元