摸鱼之 - 吉老师线段树

【学习笔记】摸鱼之 - 吉老师线段树

• 这是吉老师在 $2016$ 年国家集训队论文中提到的线段树处理历史区间最值的问题。

我们先看一道例题：

大致题面

• 给你一个序列$A$，要支持以下操作：
  • 0 l r val: 区间$[l,r]$与$val$取最小值
  • 1 l r：询问${\max }_{i=l}^r$
  • 2 l r：询问${\sum }_{i=l}^r{A}_i$

$\mathrm{S}\mathrm{o}\mathrm{l}$

• 我们就设$mx,mx2,cmx$分别为区间最大值，次大值，最大值的个数
• 我们考虑区间取$min$得过程，就是把$mx=val$的过程。那么我们分情况考虑：
  • 如果当$mx\le val$显然对原序列不会产生影响
  • 如果当$mx2\le val\le mx$，那么此时区间和$sum$只要减去$cmx\times (mx-val)$即可，这很有道理吧！
  • 否则我们就只能暴力向下做然后$pushup$啦。
• 这个流程应该还是比较清楚的，根据什么势能分析可知复杂度为$O(m\log n)$（我不会证）

然后就是一道众所周知的卡常题目

• 我至今还没有卡过点$4$（正确性没问题，就是链比较黑了。。。

大致题面

• 最假女选手
• 题目我也不再赘述

$\mathrm{S}\mathrm{o}\mathrm{l}$

• 这是一道各种操作一起来的题目。
• 我们像例题一样，设$mx,mx2,cmx$分别为区间最大值，次大值，最大值的个数,最小值同理。以及$sum$区间和，$tag,tagmx,tagmi$一系列懒标记。
• 然后就是像例题一样的大力$pushup$
• 重要的是那些最大，最小值修改（我们那修改最小值来说吧：当我们该区间最小值时还应该考虑去修改区间最大值，即如果$val\le tagmx$，那么说有的数都要变成$val$以及$tagmx$也要变成$val$。最大值修改同理。
• 维护的时候，区间加优于区间最值问题。

$\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{e}$

• 下面代码时会