倒序相加求和法

前言

等差数列的前$n$项和公式的推导方法，就是倒序相加求和法。

适用范围

①等差数列；

②更多的体现为对函数性质的考查，尤其是关于中心对称的函数，自然有对称性的数列的求和也可以；

典例剖析

【函数性质的应用】定义在$R$上的函数满足$f(\frac{1}{2}+x)+f(\frac{1}{2}-x)=2$

求值：$S=f(\frac{1}{8})+f(\frac{2}{8})+f(\frac{3}{8})+\cdots +f(\frac{7}{8})$．

$S=f(\frac{1}{8})+f(\frac{2}{8})+f(\frac{3}{8})+\cdots +f(\frac{7}{8})①$．

$S=f(\frac{7}{8})+f(\frac{6}{8})+f(\frac{5}{8})+\cdots +f(\frac{1}{8})②$．

相加，求和得到$S=7$.

【函数性质的应用】求值：$S=si{n}^2{1}^{\circ }+si{n}^2{2}^{\circ }+si{n}^2{3}^{\circ }+\cdots +si{n}^{2}88^{\circ }+si{n}^{2}89^{\circ }$

法1：$si{n}^2{1}^{\circ }+si{n}^{2}89^{\circ }=1$，$si{n}^2{2}^{\circ }+si{n}^{2}88^{\circ }=1$，$\cdots$，$si{n}^{2}44^{\circ }+si{n}^{2}46^{\circ }=1$，$si{n}^{2}45^{\circ }=\frac{1}{2}$，

故原式$S=44+\frac{1}{2}=44.5$。

法2：$S=si{n}^2{1}^{\circ }+si{n}^2{2}^{\circ }+si{n}^2{3}^{\circ }+\cdots +si{n}^{2}88^{\circ }+si{n}^{2}89^{\circ }$①，

则有$S=si{n}^{2}89^{\circ }+si{n}^{2}88^{\circ }+si{n}^{2}87^{\circ }+\cdots +si{n}^2{2}^{\circ }+si{n}^2{1}^{\circ }$，

即有$S=co{s}^{2}1$