最长公共子序列（动态规划） nyoj36

  最长公共子序列也称作最长公共子串(不要求连续)，英文缩写为LCS（Longest Common Subsequence）。

  做了一些动态规划的题的同学应该知道 做这类题大多是通过自底向上（或自顶向下）的方式求出每一状态的最优 解，

 最后得出问题的最优解。（一般用数组（或别的）存它的当前状态下的最优解，求当前状态如果需要由之前的状态 求得时，直接用就可以了）

   现在我们就以串 A：a s d f  串 B：a d f s d 这两个串为例， 做一下最长公共子序列。

（1）自顶向下：

                    d[i][j] = d[i-1][j-1] + 1;        A[i] =B[j]    

LCS(I, j) =  d[i][j]= max(d[i-1][j], d[i][j-1]）  A[i]≠B[j]  

d[i][j]代表 A中前i个字符与B中前j个字符的最长公共子序列的值，

当A[i]与B[j]相等时，那么d[i][j] 就等于d[i-1][j-1] + 1(应为每一个状态存的都是当前最优解，d[i-1][j-1]+1一定是d[i][j]的最优解)；

当A[i]与B[j]不相等时，那么就往前一状态看，等于前一状态，d[i][j]的前一状态有两个①d[i][j-1](A中前i个与B中前j-1个的状态）②d[i-1][j]（A中前i-1个与B中前j个的状态），所以d[i][j]= max(d[i-1][j], d[i][j-1]）；

看图分析一下：

d[3][3] : 可以看做是d[asd][adf] = max(d[asd][ad], d[as][adf]);

d[4][3]:  可以看成d[asdf][adf] = d[asd][ad] + 1;  （希望可以看懂！！）

 

	0	1	2	3	4
0		a	s	d	f
1	a	1	1	1	1
2	d	1	1	2	2
3	f	1	1	2	3
4	s	1	2	2	3
5	d	1	2	3	3

 

ny36题

 

 

(2)自底向上

和第一种方法差不多， 就是方向问题， 第一个看明白了， 这个就很容易看懂了（这个用了递归），

当求d[i][j]时 如果A[i]=B[j] ， 那么就由 d[i-1][j-1]这一状态求得； 如果A[i]！=B[j] ， 那么他就应该是由 d[i-1][j] 和d[i][j-1]求得。

注：下图是两个串x：ABCBDAB  y：BDCABA（这个图是截的图）

 

 

代码附上

好好理解一下！！！