凸优化有关的数值线性代数知识 4分块消元与Schur补

最新推荐文章于 2025-11-18 11:29:19 发布

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本文介绍了4分块消元法在解决线性方程组中的应用，详细阐述了如何通过分块消元消除部分变量，特别是涉及到Schur补的概念。此外，还讨论了分块消元法的复杂度分析，并提到了逆矩阵引理在解线性方程组中的作用。内容涵盖了计算成本、求解步骤和特殊情况下的效率比较。

4分块消元与Schur补

消除部分变量
逆矩阵引理

消除部分变量

考虑Ax=b，将变量 $x \in R^n$ 分为凉快或两个子向量

$x=\begin{bmatrix} x_1 \\x_2\end{bmatrix},x_1 \in R^{n_1},x_2 \in R^{n_2}$

对线性方程组Ax=b做同样的划分，

$\begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix}$

其中 $A_{11}\in R^{n_1\times n_1},A_{22}\in R^{n_2 \times n_2}$

假设 $A_{11}$ 可逆，则按以下方式消去 $x_1$ ， $x_1=A_{11}^{-1}(b_1-A_{12}x_2)$ ，再将其代入第二个方程

得到

$A_{21}x_1+A_{22}x_2=b_2 \\ \Leftrightarrow A_{21}A_{11}^{-1}(b_1-A_{12}x_2)+A_{22}x_2=b_2 \\ \Leftrightarrow (A_{22}-A_{21}A_{11}^{-1}A_{12})x_2=b_2-A_{21}A_{11}^{-1}b_1$

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