凸优化有关的数值线性代数知识 3LU Cholesky和LDL因式分解

最新推荐文章于 2024-12-17 20:00:00 发布
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本文详细介绍了数值线性代数中的3种重要因式分解方法：LU因式分解、Cholesky因式分解和一般的因式分解。针对每种方法，阐述了它们在求解线性方程组中的应用，特别是对于稀疏矩阵的处理。LU分解适用于非奇异矩阵，Cholesky分解适用于对称正定矩阵，而一般的因式分解则适用于非奇异对称矩阵。文章探讨了各种分解的计算成本，包括浮点运算次数，并指出在处理稀疏矩阵时，因式分解的选择和排列矩阵的确定对计算效率的影响。

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3LU Cholesky和LDL^T因式分解

  1. LU因式分解
  2. Cholesky因式分解
  3. LDL^T因式分解

LU因式分解

每一个非奇异矩阵A\in R^{n \times n}都可以因式分解成A=PLU，其中P \in R^{n \times n}是排列矩阵，L \in R^{n \times n}是单位下三角矩阵，U \in R^{n \times n}是非奇异上三角矩阵。这种形式被成为Ａ的LU因式分解。也可以写成P^TA=LU。

计算LU因式分解的标准算法被称为Gauss部分主元消元法，或Gauss行变换消元法。不考虑Ａ的结构，计算Ａ的LU因式分解的成本是(2/3)n^3。

通过LU因式分解求解线性方程组

给定线性方程组Ax=b，其中A非奇异。

  1. LU因式分解：将A因式分解为A=PLU。
  2. 排列：求解Pz_1=b（0次浮点运算）
  3. 前向代入：求解
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蒜法
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