凸优化第五章对偶 5.2Lagrange对偶问题

最新推荐文章于 2025-07-19 20:20:06 发布

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本文深入探讨了Lagrange对偶问题，包括标准形式线性规划的对偶问题、弱对偶性、强对偶性和Slater准则。通过多个例子展示了在不同类型的优化问题中如何应用这些概念，揭示了在凸优化问题中强对偶性的关键作用和Slater条件的重要性。

5.2Lagrange对偶问题

Larange对偶问题
弱对偶性
强对偶性和slater约束准则
例子

Lagrange对偶问题

对于任意的一组 $(\lambda,v)$ ，对偶函数给出了优化问题的最优值 $p^*$ 的一个下界。从Lagrange函数能够得到的最好下界是什么？

将此问题转化为优化问题：

$maximize \, \, g(\lambda,v) \\ subject \, \, to \, \, \lambda\succeq 0$

上述问题为原问题的Lagrange对偶问题，且是一个凸优化问题，因为 $g(\lambda,v)$ 是凹函数。如果 $(\lambda^*,v^*)$ 是Lagrange对偶问题的最优解，则称 $(\lambda^*,v^*)$ 是对偶最优解或最优Lagrange乘子。

标准形式线性规划的对偶问题

$minimize \, \, c^Tx \\ subject \,\, to \, \,Ax=b,x\succeq 0$

Lagrange对偶函数是 $L(x,\lambda ,v)=c^Tx+\lambda^T (-x)+v^T(Ax-b)=c^Tx-\lambda^Tx+v^TAx-v^Tb$

为了最小化L， $\bigtriangledown _xL(x,\lambda ,v)=c+A^Tv-\lambda$

因为L是仿射函数，所以

$g(\lambda,v)=\left\{\begin{matrix} -b^Tv &A^Tv-\lambda+c=0 \\ -\infty & A^Tv-\lambda+c\neq 0 \end{matrix}\right.$

如果 $A^Tv+c>0,p^*\geq -b^Tv$ 。

于是其对偶问题为

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