优化问题的拉格朗日Lagrange对偶法原理

tostq

已于 2023-11-08 20:27:07 修改

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文章标签：机器学习算法人工智能

于 2023-05-02 23:25:46 首次发布

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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/tostq/article/details/130409710

首先我们定义一般形式的求解x的优化问题：

$\\ \text{ Minimize }\ f_o(x) \\ f_i(x)\leq 0, i=1,...,m \\ h_j(x)= 0, j=1,...n \\$

$f_o(x)$ 表示优化的目标函数，上述为最小优化，实际上最大优化可以改写为 $-f_o(x)$ 的形式
$f_i(x)\leq 0$ 表示第i个不等式约束
$h_j(x)=0$ 表示等式约束

1. Lagrange对偶问题

上述优化问题的拉格朗日Lagrange对偶法求解，是将上述带约束的目标优化问题改写为如下无约束的Lagrange函数式子。

$L(x,\lambda ,\nu )=f_o(x) + \sum_i^m \lambda_i f_i(x) + \sum_j^n \nu_j h_j(x)$

上述Lagrange函数式子存在如下对偶函数，其是Lagrange函数关于 $x$ 取最小值，即：

$g(\lambda ,\nu) = \underset{x}{inf}(L(x,\lambda ,\nu ))=\underset{x}{inf}(f(x) + \sum_i^m \lambda_i f_i(x) + \sum_j^n \nu_j h_j(x))$

对偶函数是关于 $\lambda ,\nu$ 的函数，很显然其是原来Lagrange函数式子的下界，假设优化问题存在最优解 $x^*$ ，当 $\lambda_i\geq 0$ 时，此时存在最优目标大于对偶函数。

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