2020年数学建模A题论文+代码

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原文不全，原文档点击此处（已经更新）

关键词： 单目标优化模型；最小二乘；多重搜索；模拟退火；蚁群算法

2 一、 问题重述

1 . 1 问题背景

在集成电路板等电子产品生产中，需要将安装有各种电子元件的印刷电路板放置在

回焊炉中，通过加热，将电子元件自动焊接到电路板上。在这个生产过程中，让回焊炉

的各部分保持工艺要求的温度，对产品质量至关重要。目前，这方面的许多工作是通过

实验测试来进行控制和调整的。本题旨在通过机理模型来进行分析研究。回焊炉内部设

置若干个小温区，它们从功能上可分成 4 个大温区：预热区、恒温区、回流区、冷却区。

电路板两侧搭在传送带上匀速进入炉内进行加热焊接。某回焊炉内有 11 个小温区及炉

前区域和炉后区域，每个小温区长度为 30.5 cm ，相邻小温区之间有 5 cm 的间隙，炉前

区域和炉后区域长度均为 25 cm 。回焊炉启动后，炉内空气温度会在短时间内达到稳定，

此后，回焊炉方可进行焊接工作。炉前区域、炉后区域以及小温区之间的间隙不做特殊

的温度控制，其温度与相邻温区的温度有关，各温区边界附近的温度也可能受到相邻温

区温度的影响。另外，生产车间的温度保持在 25ºC 。在设定各温区的温度和传送带的过

炉速度后，可以通过温度传感器测试某些位置上焊接区域中心的温度，称之为炉温曲线

（即焊接区域中心温度曲线）。附件是某次实验中炉温曲线的数据，各温区设定的温度分

别为 175ºC （小温区 1 5 ）、 195ºC （小温区 6 ）、 235ºC （小温区 7 ）、 255ºC （小温区 8 9 ）

及 25ºC （小温区 10 11 ）；传送带的过炉速度为 70 cm/min ；焊接区域的厚度为 0.15 mm 。

温度传感器在焊接区域中心的温度达到 30ºC 时开始工作，电路板进入回焊炉开始计时。

实际生产时可以通过调节各温区的设定温度和传送带的过炉速度来控制产品质量。在上

述实验设定温度的基础上，各小温区设定温度可以进行 ±10ºC 范围内的调整。调整时要

求小温区 1 5 中的温度保持一致，小温区 8 9 中的温度保持一致，小温区 10 11 中的温度

保持 25ºC 。传送带的过炉速度调节范围为 65 100 cm/min 。

如上图所示 , 将间隙当做一块介质为空气的平板 , 在两侧表面 x=0 ， x= δ 维持均匀恒

定温度 t 1 和 t 2 , 则平板内任意截面热流密度 q 相同。利用傅里叶定律，即 q =

− λ

dT

dx

，其

中 q 为热流密度 , λ 传热系数， dT

dx

空间点之间的温度差。可推到出 Z 0 δ

q d x =

− λ

Z

t 2

t

1

d t ,

由此得到热流密度后 , 导出温度分布为

t − t 2

t 1 − t 2

= 1 − x

δ

可得平板内沿导热方向面积不变，热流密度不变，温度呈线性分布。所以在之后的，模

型中 , 本文认为在炉前区域和温区之间的间隙部分，温度应按线性分布 .

（ 2 ）焊接区域中心温度变化模型

对于回焊炉中某个特定的功能温区 , 电路板在该区域中的受热升温的模型如下图所

示 , 由于电路板的长度和宽度远远大于电路板厚度，本文认为电路板的升温主要受垂直

方向的热流影响 , 将水平方向的热流影响忽略不计。由于电路板的材质一般为金属 , 导热

系数很大，且题中所给的电路板厚度很薄。因此可假设整块电路板的温度近似均匀分布

由于题中已给出各个温区的分布，我们可以得到每个温区的温度和长度，由于已知

传送带的传送速度，可以计算电路板在每个温区内的时间，因而可以计算电路板在经过

每个温区后达到的温度。对于小温区之间的间隙，我们将间隙划分为很小的区域，这样

可以近似认为每个小区域内的温度保持恒定不变，那么我们也可以采用上式计算出电路

板经过每个小区域后的温度，累加之后就可以计算电路板通过变温的间隙时所发生的温

度变化。考虑到电路板升温降温的机理可能有所差异，我们为降温过程另外选取一个模

型进行计算。本文采用牛顿冷却公式建立模型

5 . 1 . 2 模型求解

5 . 1 . 2 . 1 模型求解的过程

最小二乘法（ Least Squares Method ）是一种常用的数学方法，用于拟合一个数学模

型与给定观测数据之间的关系。它的原理基于最小化观测数据与拟合模型之间的残差平

方和，以找到最优的参数估计。通过搜索三个未知的系数来求解附件中给出的炉温曲线

的最佳拟合方式，求解步骤如下：

1. 设置搜索 τ 1 ， τ 2 的步长均为 0.1 ，而对于 h 的搜索步长设置为 10 − 5 ；

2. 代入三个参数的初始值，通过上述模型进行求解得到整个过程的炉温数据；

3. 求解计算得到的炉温数据与附件给出的测量数据的误差，求出其平方和；

4. 重复上述步骤，在一定范围内搜索寻优找到能够实现对附件中给出的炉温曲线拟合

最好的两个热时间常数和对流热系数。

5 . 1 . 2 . 2 模型求解的结果

当温度升高时，热时间常数一般会变小，从而影响更高的环境温度，为了方便计算，

设在小小温区 1 6 升温过程对应的一个时间常数 τ 1 ，在小温区 7 9 升温对应的另一个常

数 τ 2 ，利用焊接区域中心的变化模型，对于题目中附件数据进行拟合。若给定 τ 1 , τ 2 ,h

的值，通过最小二乘法，来建立参数估计模型，结果如下：

τ b 1 , τ b 2 , b

h

= arg

min

τ 1

,τ

2 ,h

N

X

n =1

[ T ( t n , τ 1 , τ 2 , h ) − T 0 ( t 0 )] 2

其中 T ( t n , τ 1 , τ 2 , h ) 代表给定的三个参数之后，可求出每个时间点对应的炉温值。

通过上述方法求解，得到 τ 1 =57.4s ， τ 2 =43.7s ， h = 0 . 00678 W / mm 2 得到的炉温曲线

与附件中给出的炉温曲线如下图所示

由图可知，在升温过程中，所得到的模型结果与实际数据中给出的炉温曲线拟合情

况较好。但是在降温的过程中，温度下降的速度略慢于实际数据的下降速度，从而在曲

线上有一些差异。鉴于题目中给出的制程界限，其中对温度下降速率有一定的限制，而

本题建立的模型得到的曲线在降温的时候较为平缓，因此，本题模型也有合理之处，可

以更好地满足这个下降速率的限制。

当传送带过炉速度更为 78cm/min ，各温区温度的设定值更改为 T 1 =173°C, T 2 =198°,

T 3 =230°C, T 4 ,