2019年数学建模大赛C题论文+代码

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机场的出租车问题

摘 要

本文针对机场出租车问题, 建立了基于层次分析法的评价模型, 解决了出租车司机策 略选择问题; 建立了单目标优化模型, 解决了出租车司机策略选择、模型合理性及对相关 因素依赖性的问题; 建立了单目标优化模型, 解决了上车点数量设置的问题; 建立了多目 标优化模型, 解决了短途载客出租车的优先排队问题. 针对问题一, 建立了基于层次分析法的评价模型, 解决了出租车司机策略选择问题. 首先以飞机航班数量、乘车人数占比、出租车数量、时间成本或空载成本、路程、时间 段及气候七项因素作为准则层, 以方案 A 载客返市和方案 B 空车返市作为方案层, 构建 出租车司机决策的评价体系; 其次构建目标层与准则层、准则层与方案层的判断矩; 再次 利用特征值法求出上述准则层中七项因素的权重, 并开展一致性检验分析, 计算结果表 明上述七项因素的权重分别:0.3496、0.2778、0.1537、0.1031、0.0616、0.0324 及 0.0218, 且通过了一致性检验. 基于该权重进一步计算得出方案 A 总分为 0.7044, 方案 B 总分为 0.2956, 因此方案 A 的载客返市更合理. 最后采用几何平均法计算各因素权重, 该方法求 得的权重值与特征值法求得的最大误差值为 0.023, 差异较小, 验证了计算结果的合理性. 针对问题二，建立了单目标优化模型，解决了出租车司机策略选择的问题。首先, 根据搜集到的石家庄正定机场航班数据, 整理出各时刻乘客前往乘车区的数量，计算出 租车司机的等待时间. 接着, 基于石家庄出租车的收费标准、平均车速度及每公里耗油量 等数据推导出方案 A，B 的出租车平均每小时收入函数；其次，以出租车司机的收入最 大为目标，以行驶速度、安全因素为约束条件，建立优化模型，采用蚁群算法对方程进 行求解，结果为：出租车司机选择 A 方案收入最大，平均每小时收益为 30.22 元。再次， 对正定机场的航班到达量加高斯噪声处理，得到选 A 方案时人、车等待时间增加较少， 为 12 分钟，收益改变量为 6 元，说明了模型的合理性。最后，将飞机航班数量、出租车 数量及乘车人数分别改变 1，得出人车等待时间最大改变量相应为：8、44 和 0，结果表 明模型对出租车数量的依赖性最大。 针对问题三，建立了单目标优化模型, 解决了上车点数量设置的问题. 首先以乘车效 率最高为优化目标, 安全因素为约束条件, 上车点数量为决策变量, 建立单目标优化模型; 其次利用蒙特卡洛模拟方法求解各规则设定下乘车效率的大小. 计算结果表明: 对于双 车道, 无论车多于人还是人多于车时, 设置 4 个上车点的乘车效率最高; 乘客在车多于人, 人多于车两种情况下平均用时分别为 1.9 分钟、20 分钟, 出租车在这两种情况下的平均 用时分别为 19.9 分钟、2 分钟; 当人和车数量相当时, 在安全和方便管理的前提下, 设置 8 个上车点时总乘车效率较高, 乘客和出租车平均用时都在 4 分钟左右. 最后, 对模拟系 统的截止时间进行灵敏度分析, 结果为截止时间设置为大于 40 分钟时, 人和车用时改变 量都小于 1 分钟, 表明系统求解截止时间设置为 50 分钟是合理的, 人车用时保持稳定, 验 证了计算结果的合理性. 针对问题四，建立了多目标优化模型, 解决了短途载客出租车的优先排队问题. 首先 将排队的出租车分为长途车和短途车两类, 对比两类车在机场与市区往返期间的两个信 息: 相同观测时间内的收益及相同观测空间内的空载率; 其次以长短途出租车的空载率 差值、收益差值最小为优化目标, 建立排队位置最优化模型, 利用基于梯度的遍历法求解, 结果表示为在输入短途里程后可得到相应的优先排队位置, 如短途车单程为 6km 时, 该 车可在一个共 100 辆出租车等候队列中优先排到第 15 位; 同时得到短途里程越短, 车辆 排的位置越靠前. 最后对优先排队模型价值函数中的权重因子 ε1,ε2 进行灵敏度分析, 两 个参数分别改变 0.1, 得到 ε1,ε2 的值分别取为 0.8 和 0.2 时, 短途车位置改变量最大, 向前 停靠 4 个车位, 灵敏度较高. 关键词： 层次分析法；单目标优化；多目标优化；蒙特卡洛模拟 1 一、 问题重述 1 . 1 问题背景 大多数乘客下飞机后要去市区（或周边）的目的地，出租车是主要的交通工具之一。 国内多数机场都是将送客（出发）与接客（到达）通道分开的。送客到机场的出租车司 机都将会面临两个选择：(A) 前往到达区排队等待载客返回市区。出租车必须到指定的 “蓄车池”排队等候，依“先来后到”排队进场载客，等待时间长短取决于排队出租车和 乘客的数量多少，需要付出一定的时间成本。(B) 直接放空返回市区拉客。出租车司机会 付出空载费用和可能损失潜在的载客收益。在某时间段抵达的航班数量和“蓄车池”里 已有的车辆数是司机可观测到的确定信息。通常司机的决策与其个人的经验判断有关， 比如在某个季节与某时间段抵达航班的多少和可能乘客数量的多寡等。如果乘客在下飞 机后想“打车”，就要到指定的“乘车区”排队，按先后顺序乘车。机场出租车管理人员 负责“分批定量”放行出租车进入“乘车区”，同时安排一定数量的乘客上车。在实际 中，还有很多影响出租车司机决策的确定和不确定因素，其关联关系各异，影响效果也 不尽相同。 1 . 2 问题重述 本文结合实际情况，建立数学模型研究下列问题： 1. 分析研究与出租车司机决策相关因素的影响机理，综合考虑机场乘客数量的变化规 律和出租车司机的收益，建立出租车司机选择决策模型，并给出司机的选择策略。 2. 收集国内某一机场及其所在城市出租车的相关数据，给出该机场出租车司机的选择 方案，并分析模型的合理性和对相关因素的依赖性。 3. 在某些时候，经常会出现出租车排队载客和乘客排队乘车的情况。某机场“乘车区” 现有两条并行车道，管理部门应如何设置“上车点”，并合理安排出租车和乘客，在 保证车辆和乘客安全的条件下，使得总的乘车效率最高。 4. 机场的出租车载客收益与载客的行驶里程有关，乘客的目的地有远有近，出租车司 机不能选择乘客和拒载，但允许出租车多次往返载客。管理部门拟对某些短途载客 再次返回的出租车给予一定的“优先权”，使得这些出租车的收益尽量均衡，试给出 一个可行的“优先”安排方案。 二、 问题分析 2 . 1 问题一的分析 本问题要求建立出租车司机选择决策模型, 给出司机选择载客返市或空载返市的策 略, 并且综合考虑机场的乘客数量的变化规律和出租车司机收益分析研究影响出租车司 机决策的机理. 因此, 从问题内容来看, 该问题属于评价问题的决策建模问题. 解决此类问 题的一般方法有主成分分析法 [1] , 熵权法, 层次分析法 [2] , 模糊评价法等. 由本题可知, 需 要研究司机的决策相关因素，宜于选用层次分析法. 首先, 由航班数量, 乘车人数, 出租车 数量, 空载费用, 潜在损失的载客收益, 时间段车流量和气候因素构建因素间成对比较的 判断矩阵; 其次, 对判断矩阵进行归一化处理, 并计算出各个因素与方案间的权重. 求解权 重的计算方法有特征值法 [3] , 算术平均值法 [4] , 几何平均值法 [5] 等. 为保证结果的稳健 2 性, 本题宜于采用以上三种方法分别求出权重, 以三者计算结果的平均值作为最后的权重 结果; 最后, 采用一致性检验 [6] 判断矩阵的合理性. 2 . 2 问题二的分析 本问题要求收集某一机场及所在城市出租车的相关数据，给出出租车司机选择方 案，并且分析模型的合理性以及依赖性. 本题搜集到石家庄正定机场某一天 24h 内到达 航班的信息数据以及当地出租车的相关数据。首先，对航班信息进行数据处理，分析出 不同时刻乘客前往乘车区的数量，根据时间段乘客的峰值来确定出租车司机的收益函 数. 其次，根据石家庄出租车起步价，行驶里程，空载里程等数据，建立方案 A，B 的 出租车平均每小时收益方程；采用蚁群算法 [7] 求解最后收益结果。最后，通过控制变 量 [8] 的方法, 分别改变乘车数量, 出租车数量和平均每时段乘坐出租车人数到达量这三 个因素对模型进行依赖性分析；为了衡量模型的合理性, 对石家庄机场的航班到达量进 行了高斯噪声处理，验证模型的合理性. 2 . 3 问题三的分析 本问题要求在保证车辆和乘客安全的条件下, 设置上车点并使得总的乘车效率最高. 因此, 从问题内容来看，该问题属于优化问题. 解决此类问题的常用的建模方法有线性规 划 [9]、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划等。根据本题中的安全因素的 约束条件和需要求解上车点的要求, 宜于选用线性规划的建模方法. 首先, 以乘车效率为 优化目标, 以安全因素为约束条件, 以上车点为决策变量, 建立优化模型; 其次，为计算出 各种环境下每个方案的目标函数，根据泊松分布的原理确立模型系统的运行规则. 求解 优化模型常用的计算方法有蚁群算法, 遗传算法, 粒子群算法，蒙特卡洛算法 [10] 等。本 文宜于选用蒙特卡洛算法求解出上车点的数的最优解. 蒙特卡洛算法的计算过程为：确 定初始值, 获取随机数, 计算迭代后随机数的平均值, 计算目标函数值的最优解. 最后，对 模拟系统的截止时间进行灵敏度分析. 2 . 4 问题四的分析 本题要求解决短途载客出租车进行优先排队问题，因此, 从问题内容来看，该问题 属于优化类问题，解决此类问题的常用的建模方法有线性规划、整数线性规划、非线性 规划、多目标规划、动态规划等. 根据本题条件，宜于选用线性规划的建模方法. 将排队 的出租车分为长途车和短途车两大类，对比两类车在机场与市区往返期间的两个信息： 相同观测时间内的收益及相同观测空间内的空载率；其次，以长、短途出租车的空载率 差值、收益差值最小为优化目标，建立排队位置最优化模型. 解决此类模型的常用的算 法由遍历法，遗传算法，粒子群算法等. 本文宜用基于梯度的遍历法 [11] 求解，结果表示 为在输入短途里程后可得到相应的优先排队位置。最后，对优先优先排队模型价值函数 中的权重因子进行灵敏度分析。 三、 基本假设 1. 假设出租车司机将乘客送达机场后最终会返回市中心. 2. 假设乘客选择乘坐出租车的比例在研究时间内保持不变. 3. 假设出租车接客和乘客乘车均遵循先来后到原则或机场制定的规则. 4. 假设机场忙期时“蓄车池”内的出租车数量维持稳定. 3 四、 符号说明 aij : 因素 i 与因素 j 的重要性之比 ωi : 权重向量 P: 平均每架飞机的乘客数 η: 乘车效率 k: 上车点数量 ε: 权重因子 五、 模型建立与求解 5 . 1 问题一的模型建立与求解 5 . 1 . 1 模型建立 首先, 以选择方案作为目标层，以飞机航班数量（C1）, 乘车人数占比（C2）, 出租 车数量（C3）, 时间成本或空载成本（C4）, 路程（C5）, 时间段（C6），气候（C7）. 作为 准则层, 以方案 A 载客返市，方案 B 空车返市作为准则层, 构建出租车司机决策的评价 体系. 其次, 根据标度确立目标层和准则层的判断矩阵, 确立准则层和目标层的判断矩阵, 在计算权重前, 需要对判断矩阵进行一致性检验，并用算术平均法, 特征值法二者的平均 值法求解权重, 得出最后的方案总分. 最后, 采用几何平均法检验权重的计算结果. 5 . 1 . 1 . 1 层次分析法的原理 层次分析法，英文又称为 AHP。由美国 T.LSaaty 教授在上个世纪 70 年代提出，是 一种定量和定性相结合的分析方法，用于多方案或多目标的决策。面对非结构化的错综 复杂的问题，可以将其分为多个层次，并依据目标将其要素 (决策准则) 进行层次化分 析，在解决战略决策性具有很强的实用性。优点主要体现在系统性 (能将错综复杂的对 象和问题系统化，并分解问题，将其进行两两比较，最终判断并进行综合评价)，且注重 实用性 (采取定性定量相结合的方法，更具说服力)，兼具简洁性 (计算方式简单，结果 清晰明确，能够方便决策者直接了解掌握并采取决策)。 5 . 1 . 1 . 2 模型建立的过程 构建决策系统 决策系统一般由三个部分组成，从上到下依次为：目标层、准则层和方案层. 其中： 1. 目标层（0）：选择方案. 2. 准则层（C）：飞机航班数量（C1）, 乘车人数占比（C2）, 出租车数量（C3）, 时间成 本或空载成本（C4）, 路程（C5）, 时间段（C6），气候（C7）. 3. 方案层（P）: PA 表示载客返市,PB 表示空车返市. 构造的评价体系如下图所示： 4 图 1 评价体系示意图 求出方案层对准则层的相对权重，以此对权重结果进行排序, 选出最佳方案. 构建判断矩阵 方案层中各个指标的综合得分需要依据全系统进行计算，而在分析全系统时需要将 整个系统划分为两层的子系统，对于每个子系统都依次构造判断矩阵，进而计算该子系 统中各个指标的权重。值得注意的是，在计算子系统中各个指标的权重时，需要由下向 上依次计算。在评价体系建立的基础上, 针对目标层 (O) 和准则层 (C), 将准则层 (C) 中 的七个因素进行两两比较, 比较第 i 个因素与第 j 个因素的重要性, 构建 O-C 判断矩阵. 针对准则层 (C) 和方案层（P），将准则层（C）中的七个因素分别与方案层 (P) 中的两个 方案进行重要性比较，构建 P-C 判断矩阵. 其中, 使用相对数量化的相对重要度 aij 来表 示, 则构造判断矩阵如下： A =    a11 · · · a17 . . . . . . . . . a71 · · · a77    其中, 若 aij > 0，且 aij × aji &