支配树与Lengauer-Tarjan算法

伪目录

1. 给出支配树的定义
2. 给出一些性质
3. 介绍快速构造支配树的Lengauer-Tarjan算法及具体实现

支配树是啥

一个有源点的有向图，其支配树是满足下面条件的一个有向图：

对于支配树上一点，若断开此点，则源点必定不能到达它的任何儿子，并且能到达其他任意一个点。

不显然的，它是一棵树（当然后面会有证明）

支配树有很多实际用途，我都不知道。

一些性质

对于一个有向图，假设源点为$r$，先从$r$出发构造一棵dfs树。

定义：对于一个点$u$，若一支配$u$的点$w$满足$w̸=u$并且$w$被支配$u$的其他不含$u$的支配点支配，则$w$就是$u$的最近支配点，记作$idom(u)$。

通俗的讲，$w$是离$u$最近的那个支配点，并且能恰好支配$u$。

Lemma 1: 支配关系不存在环。

Proof: 若$a$支配$b$，那么$r$到$b$必定经过$a$，若$b$支配$a$则到达$b$需要经过$a$，此时并没有经过$b$，产生矛盾。

Lemma 2: 除源点外，其他点有且仅有一个最近支配点。

Proof: 若$a$支配$b$，$b$支配$c$，则$a$支配$c$；若$a$支配$c$，$b$支配$c$，那么$a$支配$b$或$b$支配$a$，否则可以找到一条路径不经过$a$而到达$c$而矛盾。因此支配$u$的所有点的集合构成了一个全序关系，因此总可以找到一个点满足上述最近支配点的定义。

Theorem 1: 若连接一个点和其最近支配点，那么这张图构成了一棵树，并且满足支配树的定义。

Proof: 由Lemma 1和Lemma 2可以得到这张图就是一棵树。容易证明，若断开$u$，则源点不可能到达$u$的任意一个儿子。对于其他点，由支配树的定义和Lemma 2可以推导出这个点不会受到$u$是否断开的影响。

由Theorem 1，若得到了所有点的$idom$，则容易构造出这张图的支配树。

那么怎么求$idom$呢？

首先定义：定义一个点$u$的半支配点$w$为存在路径$w\to u$，使得除了$w$，这条路径上任意一个点的dfs序都大于等于$u$的dfs序，并且$w$是所有满足条件的点中最小的那个，记作$sdom(u)$。

Lemma 3: 对于任意一点$u̸=r$，$idom(u)$为$u$在dfs树上的祖先。

Proof: 若不是祖先，则可以找到一条只经过树边的路径，必定不经过 i d o m ( u ) idom(u)