算法模板——Catalan数

目的
用于解决一些有(qi)趣(guai)的问题，如：括号匹配问题，凸多边形划分问题，二叉树种类问题等。递推方程为$h_n=\sum_{i=1}^{n}h_{i-1}\times{h_{n-i}}$。
为什么凸多边形划分的方案数是Catalan数？
设有一个凸$x$边形，选择一条边，作一个以这条边为一边的三角形，那么这样就将原$x$边形分成了三部分：一个$m$边形，一个三角形，一个$x-m+1$边形，那么递推方程为$f_i=\sum_{j=2}^{i-2}f_j\times f_{i-j+1}$。
为什么括号匹配的方案数是Catalan数？
括号匹配问题：给你$n$个左括号，$n$个右括号，组成一个序列，求合法序列的方案数。
由于最后一个位置一定是一个右括号，那么可以将这个括号与之前的某一个左括号对应起来，因此一个合法的序列$A$一定可以表示成一个序列$B(C)$，其中$B$和$C$是合法的序列，那么递推方程就是开头给出的那个方程。
为什么一个节点数固定的二叉搜索树的种类是Catalan数？
印点一个节点为根，那么他的左右儿子也一定是一棵合法的二叉搜索树，因此递推方程也是开头给出的那个。
说到这里，Catalan数递推的时间复杂度仍然是$O(n^2)$的，那么有没有通项公式呢？
其实是有的，$h_i=C_{2n}^{n}-C_{2n-1}^{n-1}=\frac{C_{2n}^{n}}{n+1}$，$C$是组合数。
证明？
以括号匹配问题为例，假设有一个二进制序列，一共$2n$项，其中$0$代表一个右括号，$1$代表一个左括号。
显然，这个二进制序列一共有$C_{2n}^n$种排列方式，减去不合法序列的方案数就是卡特兰数的通项公式了。
假设有一个不合法序列，那么必定有一项$2m+1$，其中前$2m$项有$m$个$0$，$m$个$1$，而$2m+1$项是$0$，将$(2m+2)..2n$这些位置全部异或$1$，那样这样一个序列将是一个有$n+1$个$0$，$n-1$个$1$的序列，同时一个有$n+1$个$0$，$n-1$个$1$的序列经过同样的过程也可以变成一个不合法序列。这样就证明了一个不合法的序列和一个有$n+1$个$0$，$n-1$个$1$的序列构成了一一对应。而显然，这种序列有$C_{2n}^{n-1}$种，所以$h_n=C_{2n}^{n}-C^{n-1}_{2n}$。
很显然，这个公式也可以变成$h_n=\frac{C_{2n}^{n}}{n+1}$，那么这个通项公式即可得到证明。