动态规划算法（DP）

最新推荐文章于 2023-12-18 17:07:48 发布

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动态规划算法采用分治算法的思想，将原问题分成若干个子问题，然后分别求解各个子问题，最后将子问题的解组合起来得到原问题的解。分治算法递归地求解各个子问题，可能重复求解某些子问题。与分治算法不同的是，动态规划算法不是递归地求解各个子问题，它是从简单问题的解入手，逐步求解，直至求解出原问题。动态规划算法的高明之处在于，它不会重复求解某些重复出现的子问题，即重叠子问题。

01背包：

有N件物品和一个容量为V的背包。第 i 件物品的费用是c[i]，价值为w[i]。求解将那些物品放入背包可使价值总和最大。

基本思路：

这是最基本的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以放或者不放。

用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程就是：

f[i][v]=max（f[i - 1][v] , f[i-1][v - c[i]] + w[i] ）。

如 HDU 2602

代码：

#include<stdio.h>
int dp[1010][1010];
int max(int x,int y)
{
	if(x>=y)
		return x;
	else
		return y;
}
int main()
{
	int t,n,m,i,j;
	int value[1010],v[1010];
	scanf("%d",&t);
	while(t--)
	{
		scanf("%d%d",&n,&m);
		for(i=1;i<=n;i++)
			scanf("%d",&value[i]);
		for(i=1;i<=n;i++)
			scanf("%d",&v[i]);
		for(i=0;i<m;i++)
			dp[1][i]=0;
		for(i=1;i<=n;i++)
			for(j=0;j<=m;j++)
			{
				if(j<v[i])
					dp[i][j]=dp[i-1][j];
				else
					dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-v[i]]+value[i]);
			}
		printf("%d\n",dp[n][m]);
	}
	return 0;
}

完全背包：

有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i]，价值为w[i],求解将那些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

基本思路：

这种问题非常类似于01背包问题，所不同的是每种物品有无限件。从拿取角度来看，策略并不是取或不取，而是取0件，取1件，取2件......等等很多种。

状态转移方程为: f[i][v]=max(f[i - 1][v],f[i][v - c[i]] + w[i]).

代码：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
int dp[110],w[110],v[110];
int main()
{
	int n,m,i,j;
	while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
	{
		memset(dp,0,sizeof(dp));
		for(i=1;i<=n;i++)
			scanf("%d%d",&v[i],&w[i]);
		for(i=1;i<=n;i++)
			for(j=v[i];j<=m;j++)
				dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);
		printf("%d\n",dp[m]);
	}
	return 0;
}