【信奥赛·算法基础】CSP-J C++ 算法基础

序言

算法无处不在，从我们日常使用的智能手机应用到复杂的科学计算，都离不开算法的支持。算法作为计算机科学的核心概念，对于解决各种实际问题起着至关重要的作用。

一、算法的定义与概念

1. 什么是算法，算法是解决特定问题的一系列明确步骤的集合。它就像是一个精确的烹饪食谱，告诉你在特定情况下应该采取哪些具体的操作，以达到预期的结果。
2. 阐述算法的基本特征（确定性、有穷性、可行性等）。
   • 确定性：算法的每一步都必须有明确的定义，不能存在歧义。例如，在排序算法中，明确规定了比较和交换元素的具体方式。
   • 有穷性：算法必须在有限的步骤内结束。不能陷入无限循环，否则就无法得到结果。
   • 可行性：算法必须能够用现有的编程语言实现。也就是说，算法中的每一步操作都应该是实际可行的，不能存在无法实现的操作。

二、常见算法类型介绍

1. 排序算法

   • 冒泡排序
     • 原理和步骤：重复地遍历要排序的数列，一次比较两个元素，如果它们的顺序错误就把它们交换过来。例如，对于数列 [5, 3, 8, 4, 2]，首先比较 5 和 3，因为 5 > 3，所以交换它们的位置，得到 [3, 5, 8, 4, 2]。然后比较 5 和 8，不交换，接着比较 8 和 4，交换得到 [3, 5, 4, 8, 2]，再比较 8 和 2，交换得到 [3, 5, 4, 2, 8]。这是第一轮遍历，经过多轮遍历，最终得到有序数列。
     • 时间复杂度和空间复杂度分析：时间复杂度为 O(n²)，其中 n 是数列的长度。因为在最坏情况下，需要进行 n 轮遍历，每轮遍历都要比较 n-i 次（i 是轮数），所以总的比较次数为 n*(n-1)/2，近似为 n²。空间复杂度为 O(1)，因为只需要几个额外的变量来进行交换操作，不随输入规模的增加而增加。
     • 适用场景和局限性：适用于小型数据集或者基本的排序需求。局限性在于对于大型数据集效率较低。
       以下是 C++ 实现的冒泡排序代码：

     void bubbleSort(int arr[], int n) {
        
        
         for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
        
        
             for (int j = 0; j < n - i - 1; j++) {
        
        
                 if (arr[j] > arr[j + 1]) {
        
        
                     int temp = arr[j];
                     arr[j] = arr[j + 1];
                     arr[j + 1] = temp;
                 }
             }
         }
     }
   

   • 快速排序
     • 分治思想讲解：快速排序采用分治的思想，将一个大问题分解为多个小问题进行解决。首先选择一个基准元素，将数列分为两部分，一部分小于基准元素，另一部分大于基准元素。然后分别对这两部分进行递归排序。
     • 算法流程：以数列 [5, 3, 8, 4, 2] 为例，选择第一个元素 5 作为基准元素。从数列的两端开始扫描，从右向左找到第一个小于 5 的元素 2，从左向右找到第一个大于 5 的元素 8，交换它们的位置，得到 [2, 3, 8, 4, 5]。然后继续扫描，交换 3 和 4，得到 [2, 3, 4, 8, 5]。此时基准元素 5 的位置已经确定，将数列分为两部分 [2, 3, 4] 和 [8]，分别对这两部分进行递归排序。
     • 性能优势与不足：快速排序的时间复杂度在平均情况下为 O(n log n)，性能较好。但是在最坏情况下（例如数列已经有序），时间复杂度会退化为 O(n²)。
       以下是 C++ 实现的快速排序代码：

     void quickSort(int arr[], int low, int high) {
            
            
         if (low < high) {
            
            
             int pivot = partition(arr, low, high);
             quickSort(arr, low, pivot - 1);
             quickSort