【信奥赛·算法基础】希尔排序：算法解析与C++实现

序言

希尔排序（Shell Sort）也称为缩小增量排序，是一种改进的插入排序算法。它通过将原始数据分成多个子序列来进行排序，使得在每次排序时，数据能够更快地接近最终的有序状态，从而提高排序效率。以下是希尔排序的详细介绍：

一、基本原理

希尔排序的基本思想是先将待排序的数组按照一定的间隔（称为增量）分成若干个子序列，分别对这些子序列进行插入排序。随着排序的进行，逐渐减小增量的值，直到增量为1时，再对整个数组进行一次插入排序，此时数组就基本有序了，最后一次插入排序的效率会比较高。

二、算法步骤

1. 选择一个初始增量序列，通常可以选择 $n/2$（$n$ 为待排序数组的长度），然后每次将增量除以2得到下一个增量，直到增量为1。
2. 对于每个增量值，将数组按照该增量分成若干个子序列。例如，若增量为 $k$，则数组中相距为 $k$ 的元素构成一个子序列。
3. 对每个子序列分别进行插入排序。插入排序的方法与普通插入排序类似，即将子序列中的每个元素与它前面已经排好序的元素进行比较，如果该元素小于前面的元素，则将前面的元素向后移动一位，直到找到合适的位置插入该元素。
4. 重复步骤2和3，直到增量为1。当增量为1时，整个数组就相当于进行了一次普通的插入排序，但由于之前已经对不同子序列进行了多次排序，此时数组已经比较接近有序状态，所以最后这一次插入排序的效率会比直接对原始无序数组进行插入排序要高很多。

三、示例代码（以C++为例）

#include <iostream>
using namespace std;

// 希尔排序函数
void shellSort(int arr[], int n) {
    for (int gap = n / 2; gap > 0; gap /= 2) {
        for (int i = gap; i < n; i++) {
            int temp = arr[i];
            int j;
            for (j = i; j >= gap && arr[j - gap] > temp; j -= gap) {
                arr[j] = arr[j - gap];
            }
            arr[j] = temp;
        }
    }
}

// 打印数组函数
void printArray(int arr[], int n) {
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cout << arr[i] << " ";
    }
    cout << endl;
}

int main() {
    int arr[] = {5, 4, 3, 2, 1};
    int n = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);

    cout << "原始数组: ";
    printArray(arr, n);

    shellSort(arr, n);

    cout << "排序后的数组: ";
    printArray(arr, n);

    return 0;
}

在上述代码中：

• shellSort 函数实现了希尔排序的功能。首先通过外层循环不断减小增量 gap 的值，然后在内层循环中对每个子序列进行插入排序操作。
• printArray 函数用于打印数组的内容，方便查看排序前后数组的情况。
• 执行结果

E:\Code\C++>g++ -o 希尔排序 希尔排序.cpp

E:\Code\C++>希尔排序
原始数组: 5 4 3 2 1 
排序后的数组: 1 2 3 4 5

四、时间复杂度

希尔排序的时间复杂度与所选择的增量序列有关。在最坏情况下，时间复杂度为 $O(n^2)$，但在实际应用中，通过合理选择增量序列，其平均时间复杂度可以达到 $O(n^{1.3})$ 左右，性能要优于普通的插入排序。

五、空间复杂度

希尔排序是一种原地排序算法，它只需要额外的常数级别的空间来存储临时变量，所以其空间复杂度为 $O(1)$。

六、稳定性

希尔排序是一种不稳定的排序算法。所谓稳定性，是指如果在排序前两个元素相等，那么在排序后它们的相对顺序应该保持不变。由于希尔排序在排序过程中会进行子序列的划分和元素的移动，可能会导致相等元素的相对顺序发生改变。