【信奥赛·算法基础】插入排序：算法解析与C++实现

序言

插入排序（Insertion Sort）是一种简单的排序算法，就像是我们在打扑克牌时，整理手中牌的过程。

一、基本原理

插入排序的基本思想是：将待排序的元素插入到已经有序的部分序列中合适的位置，直到所有元素都插入完毕，整个序列就变为有序序列。

二、算法步骤

1. 从第二个元素开始（假设第一个元素已经是有序的），将当前元素（称为“待插入元素”）与前面已排序的元素依次比较。
   • 例如，有一个数组[5, 3, 4, 6, 1]，首先从第二个元素3开始。
2. 如果待插入元素小于前面的元素，则将前面的元素向后移动一位，为待插入元素腾出位置。
   • 对于[5, 3, 4, 6, 1]，比较3和5，因为3 < 5，所以将5向后移动一位，数组变为[_, 5, 4, 6, 1]，这里的_表示空出的位置。
3. 继续向前比较，直到找到一个合适的位置，将待插入元素插入。
   • 在上面的例子中，将3插入到空出的位置，数组变为[3, 5, 4, 6, 1]。
4. 重复步骤2和3，对后续的元素进行操作。
   • 接着处理4，比较4和5，因为4 < 5，将5向后移动一位，数组变为[3, _, 5, 6, 1]，再比较4和3，4>3，所以将4插入到3后面的空出位置，数组变为[3, 4, 5, 6, 1]。
   • 以此类推，处理6时，因为6大于前面的5，所以6的位置不变。当处理1时，需要将1依次与6、5、4、3比较并移动这些元素，最终数组变为[1, 3, 4, 5, 6]，排序完成。

三、代码实现（C++）

#include <iostream>

// 插入排序函数
void insertionSort(int arr[], int n) {
    for (int i = 1; i < n; ++i) {
        int key = arr[i];
        int j = i - 1;

        // 将比key大的元素向后移动
        while (j >= 0 && arr[j] > key) {
            arr[j + 1] = arr[j];
            j = j - 1;
        }

        // 将key插入到合适的位置
        arr[j + 1] = key;
    }
}

// 打印数组函数
void printArray(int arr[], int n) {
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        std::cout << arr[i] << " ";
    }
    std::cout << std::endl;
}

int main() {
    int arr[] = {5, 3, 4, 6, 1};
    int n = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);

    std::cout << "原始数组: ";
    printArray(arr, n);

    insertionSort(arr, n);

    std::cout << "排序后的数组: ";
    printArray(arr, n);

    return 0;
}

四、时间复杂度和空间复杂度

1. 时间复杂度
   • 最好情况：当输入序列已经是有序的，插入排序只需要进行 $n-1$ 次比较操作，时间复杂度为 $O(n)$。例如，数组[1, 2, 3, 4, 5]，每个元素只需要和它前面的元素比较一次，就可以确定它的位置。
   • 最坏情况：当输入序列是逆序的，如[5, 4, 3, 2, 1]，对于第 $i$ 个元素，需要比较和移动 $i$ 次，总的比较和移动次数为 ${\sum }_{i=1}^{n-1}i=\frac{n(n-1)}{2}$，时间复杂度为 $O(n^2)$。
   • 平均情况：时间复杂度也是 $O(n^2)$，因为平均来说，插入一个元素需要比较和移动大约 $n/2$ 次。
2. 空间复杂度：插入排序是一种原地排序算法，它只需要 $O(1)$ 的额外空间来进行元素的交换和移动。因为它在排序过程中只使用了有限的几个临时变量来存储当前元素、位置等信息，而不需要额外的大量存储空间来复制整个数组等操作。

五、适用场景

插入排序适用于数据量较小或者基本有序的序列。因为它在处理基本有序的序列时效率较高，并且由于其简单的实现方式，对于小规模的数据排序是一个很好的选择。例如，在一些嵌入式系统或者对资源有限的环境中，当需要对少量数据进行排序时，插入排序可以发挥很好的作用。