19、傅里叶、小波和线性调频小波变换：信号处理的多面手

傅里叶、小波和线性调频小波变换：信号处理的多面手

1. 傅里叶变换相关思考

在信号处理中，傅里叶变换是一个核心工具。不过，Lomb傅里叶变换周期图与简单的UFT方法处理随机傅里叶积分相比，可能需要更多计算量，而性能提升却不显著。只要傅里叶输入数据的精确时间和（或）传感器位置（对于空间变换）已知，就能计算出准确的傅里叶变换，但这需要放弃高效的FFT算法，并且频谱结果中会增加一些噪声。

2. 离散傅里叶变换（DFT）和快速傅里叶变换（FFT）的频率分辨率

DFT或FFT的频率分辨率与输入缓冲区的时间长度成反比。频率分辨率Δf（单位：Hz）不能超过1/T，其中T是输入缓冲区的时间长度（单位：秒）。对于空间采样的DFT或FFT，波数分辨率Δk（单位：rad/m）与空间输入样本的范围D（单位：米）成反比。分辨率与T或D中的样本数量以及样本是否均匀间隔无关，采样率（或空间变换中的样本密度）决定了可表示的无混叠频率（或波数）范围。

当输入为正弦波且输入缓冲区中包含整数个波长时，FFT频谱峰值将精确位于某个频率 bin 上，其他 bin 为零。若频率改变，使输入缓冲区中存在非整数个波长，最接近的频率 bin 仍会有频谱峰值，但峰值水平会降低，相邻 bin 会出现“频谱泄漏”。通过对输入缓冲区应用数据窗口，可以显著减弱远离峰值区域的 bin 中的泄漏，但无论输入频率是否与 bin 对齐，使用窗口时峰值周围总会有一些泄漏。

3. 频谱分析中的时间 - 带宽关系

频谱分析中，时间 - 带宽关系是一个有趣的方面。要测量非常窄带宽内的频谱变化（高光谱分辨率），需要很长的输入数据缓冲区。即使输入数据缓冲区大量重叠以实现比缓冲区时间长度T更快