5、从模拟域到数字域：信号处理中的z变换映射

从模拟域到数字域：信号处理中的z变换映射

在信号处理领域，将模拟系统模型转换为数字系统模型是一个关键且具有挑战性的任务。本文将深入探讨模拟系统与数字系统之间的转换，特别是通过z变换实现从s平面到z平面的映射，以及如何处理其中的各种问题。

1. 系统理论基础

许多常见系统，如波动方程、由电阻、电容和电感组成的电路，或者由阻尼器、弹簧和质量组成的机械系统，都可以用二阶线性微分方程来描述：
[M\frac{\partial^2 y(t)}{\partial t^2}+R\frac{\partial y(t)}{\partial t}+Ky(t)=Ax(t)]
其中，(Ax(t)) 是系统在 (t>0) 时的输入（力），(y(t)) 是系统的输出（质量的位移），并且假设所有系统初始条件为零。

对上述方程两边进行拉普拉斯变换，可以得到系统的一般响应。拉普拉斯变换后的方程为：
[M{s^2Y(s)-sy(0)-\dot{y}(0)}+R{sY(s)-y(0)}+KY(s)=f_0]
系统函数 (H(s)) 和系统激励函数 (G(s)) 分别定义为：
[H(s)=\frac{1}{Ms^2 + Rs + K}]
[G(s)=\frac{F(s)}{Ms + R\dot{y}(0)+My(0)}]

通常，我们会将初始条件与系统响应分开，得到：
[Y(s)=F(s)H(s)+\frac{Ms + R\dot{y}(0)+My(0)}{Ms^2 + Rs + K}]

对上述方程进行拉普拉斯逆变换，可以得到系统对力输入 (f(t)) 以及初始位移 (y(0)) 和速度 (\dot{y}(