81、FDEM程序包网格细化算法的并行化

FDEM程序包网格细化算法的并行化

1 引言

在偏微分方程（PDE）数值解领域，主要有三种方法：有限差分法（FDM）、有限元法（FEM）和有限体积法。有限差分法在早期的PDE数值分析发展中占据主导地位；20世纪60年代，工程师引入了有限元法，在过去几十年里，该方法成为了广泛应用的PDE数值方法；有限体积法介于有限差分法和有限元法之间，在计算流体动力学（CFD）中广泛使用。

这里采用在非结构化有限元网格上的有限差分法，即有限差分单元法（FDEM）。基于网格的一维区域分解，能够明确规定处理器对节点和单元的所有权。在网格细化过程中，向相邻处理器传递消息总是分为两部分。

2 有限差分单元法

2.1 问题描述

要解决二维和三维中具有任意非线性边界条件的椭圆型和抛物型非线性PDE系统，使用非结构化网格处理任意域。该域可能由多个子域组成，每个子域可能有不同的PDE系统，子域的解通过耦合条件相互关联。目标是找到一个强大的黑盒求解器，具备可靠的误差估计，用于阶数控制和局部网格细化。

在二维中，允许的PDE和边界条件的最一般算子形式为：
$Pu \equiv P(t, x, y, u_t, u_x, u_y, u_{xx}, u_{yy}, u_{xy}) = 0$
其中$u$和$Pu$是具有$l$个分量的向量（$l$个PDE的系统）。如果包含$t$和$u_t$，系统是抛物型的，否则是椭圆型的。

2.2 差分和误差公式的生成

为了生成差分和误差公式，使用$q$阶有限差分法，即通过一致性阶数为$q$的多项式局部逼近解$u$。二维$q$阶多项式为：
$P_q(x,