59、密集线性代数因式分解的最小数据复制

密集线性代数因式分解的最小数据复制

在密集线性代数因式分解（DLAFA）领域，数据结构和算法的选择对性能有着至关重要的影响。传统的标准数据结构在某些情况下可能会导致性能下降，而新的数据格式如方形块（SB）和方形块打包（SBP）格式则展现出了巨大的潜力。本文将深入探讨这些新格式的特点、优势以及如何实现最小数据复制，从而提高DLAFA的性能。

1. 连续方形块的重新排序需求

在DLAFA中，非密集存储（NDS）将矩阵A表示为一组阶数为NB的方形块（SB）的集合，每个SB在内存中是连续的。研究表明，连续的内存块能最佳地映射到L1缓存，减少L1和L2缓存缺失以及TLB缺失，从而提高矩阵乘法和其他常见行列矩阵操作的性能。

然而，在某些处理器上，浮点多重加载和存储指令要求操作数在内存中连续，多重浮点操作也要求寄存器操作数连续。因此，进入L1的数据可能需要正确排序，以便以最优方式进入L0。标准的行/列主序布局可能不再是最优选择。在某些情况下，将SB重新排序为子矩阵（称为寄存器块）可以产生新的数据布局，既能在L1中保持连续，又能以最优方式从L1加载到L0。寄存器块的顺序和大小取决于平台。

2. 基于划分为寄存器块的方形块格式的DGEMM内核

寄存器块是SB的子矩阵，这一特性使得在Fortran和C语言中可以方便地对这些块进行寻址。假设我们有三个SB：A、B和C，要对它们应用DGEMM。我们将A、B和C划分为可兼容的子矩阵，这些子矩阵也是寄存器块，其大小分别为kb × mb、kb × nb和mb × nb。因此，AT、B和C分别被划分为大小为k1 × m1、k1 × n1和m1 × n1的分区矩阵。

我们要计算的DGEMM内核是C =