28、基于Python的偏微分方程数值建模模块

基于Python的偏微分方程数值建模模块

1. 引言

在数值模拟领域，基于偏微分方程（PDE）的建模是一项重要的工作。传统上，一些用于定义和求解PDE的环境存在诸多问题，比如需要用户学习新的编程语言，且缺乏新应用领域所需的重要编程特性。因此，将PDE求解环境嵌入现有的编程语言，如C++、MATLAB或Python，成为了更受欢迎的选择。

Python模块escript正是这样一个解决方案，它将模型的数学公式与离散化技术相分离，为科学家提供了一个自然的工作环境，使他们无需显式处理数值对象及其数据结构。同时，escript具有高度的可重用性和可移植性，能在不同平台和数值库上运行模拟。

2. 地震波传播示例

为了说明escript的用法，我们以地震波传播模型为例。该模型的研究区域是地球外地壳的一个三维块体，典型尺寸为深度30km，长度100 - 500km，包含岩石、沉积物和水等多种材料。

地震波传播模型基于以下波动方程：
对于任意给定时间 (t > 0)，区域 (\Omega) 上的位移场 (u = (u_i)) 满足：
(\rho u_{i,tt} = \sigma_{ij,j} + F_i) （1）
其中，(\rho) 是密度，(F_i) 是内部载荷。这里，(Z,j) 表示函数 (Z) 关于第 (j) 个空间方向的导数，采用标准张量求和符号。应力场 (\sigma_{ij}) 在各向同性、线性弹性材料的情况下为：
(\sigma_{ij} = \lambda u_{k,k}\delta_{ij} + \mu (u_{i,j} + u_{j,i})) （2）
系数 (\lambda)