14、LAPACK风格代码：带主元的Cholesky分解与QR分解更新

LAPACK风格代码：带主元的Cholesky分解与QR分解更新

在矩阵计算领域，Cholesky分解和QR分解是非常重要的工具。Cholesky分解用于对称正定矩阵，而QR分解则用于将矩阵分解为正交矩阵和上梯形矩阵的乘积。本文将介绍用于带主元的Cholesky分解和QR分解更新的LAPACK风格代码，这些代码在计算效率和精度上都有显著提升。

1. 带主元的Cholesky分解

1.1 引言

对于对称正定矩阵 $A \in R^{n×n}$，其Cholesky分解形式为 $A = LL^T$，其中 $L \in R^{n×n}$ 是一个下三角矩阵，且对角元素为正。如果 $A$ 是半正定矩阵，秩为 $r$，则存在带完全主元的Cholesky分解。即存在一个置换矩阵 $P \in R^{n×n}$，使得 $P^TAP$ 有唯一的Cholesky分解 $P^TAP = LL^T$，其中 $L$ 具有特定的分块形式。

1.2 算法

• LAPACK的Gaxpy Level 2 BLAS算法 ：该算法用于计算对称正定矩阵的Cholesky分解，会用 $L$ 覆盖 $A$。具体步骤如下：

Set L = lower triangular part of A
for j = 1: n
    (∗)
    L(j, j) = L(j, j) − L(j, 1: j − 1)L(j, 1: j − 1)^T
    (#)
    if L(j, j) ≤ 0, return, end % Quit