2、高效矩阵关系零知识证明协议解析

高效矩阵关系零知识证明协议解析

1. 广义Σ协议与承诺方案

在密码学的研究中，广义Σ协议和承诺方案是重要的基础概念。

1.1 广义Σ协议

在树结构 $T_{\sigma}(x)$ 中，从根节点到叶子节点的每一条路径都代表一个完整的会话实例，也就是一个轨迹。树 $T_{\sigma}(x)$ 中的路径数量为 $(\mu_1, \ldots, \mu_k)$。若验证者 $V$ 在所有这些路径上都输出 1，则称树 $T_{\sigma}(x)$ 为接受树。当存在一个概率多项式时间（P.P.T.）算法（提取器），在输入 $\sigma$、$x$ 和接受树 $T_{\sigma}(x)$ 时，以压倒性的概率输出一个见证 $w^ $，使得 $(x, w^ ) \in R$，那么这个广义Σ协议就被称为 $(\mu_1, \ldots, \mu_k)$ - 特殊可靠的。最近的研究证明了 $(\mu_1, \ldots, \mu_k)$ - 可靠性意味着知识可靠性，并且这一结论不依赖于随机硬币采样的挑战集的任何限制。

1.2 承诺方案

承诺方案 $CS \equiv (CGen, Cmt, Cvf)$ 由三个概率多项式时间算法组成，具有以下性质：
- 完整性 ：对于任意消息 $x$，有 $P[pk \leftarrow CGen(\lambda); (c, d) \leftarrow Cmt(pk, x) : Cvf(pk, c, x, d) = 1] = 1$。
- 绑定性 ：存在一个可忽略函数 $\varepsilon(\lamb