14、少于一个样本的最优先知不等式研究

少于一个样本的最优先知不等式研究

1. 背景与相关工作

先知不等式是算法机制设计领域的一个重要问题，其基准可解释为能在查看所有盒子值后做出选择的最优算法的期望值。经典的单选择先知不等式与设计收益最大化的顺序张贴定价机制等价，这一联系推动了该领域在多选择场景下的诸多推广，如在拟阵、匹配和组合拍卖以及一般向下封闭约束等方面的应用。

在有限信息设定下，算法只能获取每个分布的有限样本，而非完整的分布信息，这种模型比全信息模型更具现实意义，因为样本易于从历史数据中收集。此前已有不少研究针对不同场景设计了具有常数竞争力的算法。例如，Azar、Kleinberg和Weinberg为各种拟阵和匹配场景设计了仅需每个分布常数个样本的常数竞争力算法；Rubinstein、Wang和Weinberg证明了单选择先知不等式在每个分布仅一个样本的情况下可达到最优的1/2竞争比；Caramanis等人探索了拟阵、匹配和组合拍卖的单样本先知不等式的极限；Correa等人研究了每个分布一个样本的先知秘书问题，并得到了一个0.635竞争力的算法。

2. 研究贡献

• 模型与结果 ：在先验信息较少的情况下，合理假设某些分布可能是全新的，即没有任何样本。为此提出了一个由 $p \in [0, 1]$ 参数化的 $p$ - 稀疏样本访问框架，并将其应用于单选择先知不等式。具体而言，假设对于每个盒子，算法以概率 $p$ 看到其一个样本，这推广了Rubinstein、Wang和Weinberg在 $p = 1$ 时的单样本设定。同时，少于一个样本的情况也推广了Correa等人研究的具有线性 $\beta n$ 和次线性 $o(n)$ 个样本的模型。研究